设随机变量X~U(0,1),当给定X=x时,随机变量Y的条件概率密度为fy|x(y/x)={x 0<y<1/x AND 0 其他. 求边缘密

Question

度fy(y)

Answer 1

f(x)=1,0≤x≤1; = 0, 其余.

f(y|x)=x, 0<y<(1/x); = 0, 其余.

f(x,y)=f(y|x)f(x) = x, 0≤x≤1, 0≤y≤(1/x); = 0, 其余.

当 y<1 时: f(y)=∫[0到1]xdx = 1/2.

当 y>1 时: f(y)=∫[0到(1/y)]xdx = 1/(2y²).

核实: f(y)=∫[0到1](1/2)dy + ∫[1到∞]{1/(2y²)}dy = 1.

Answer 2

fy|x(y|x) =x (0<y<1/x)?????

y在 (0~1/x) 上均匀分布

根据条件密度公式
f(x,y)/fx(x)= x

而fx(x)=1 (0<x<1)

所以
f(x,y)=x*fx(x)=x (0<x<1,0<y<1/x)
(0<x<1,0<x<1/y)
也可以概括为 0<x<min(1,1/y)

f(x,y)在R2其他地方=0
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