问题1，如何证明有N个线性无关特征向量的矩阵A可以对角化？ 问题2，R（A,B）=?R(A/B)（A上B下）

Question

问题3，如何证明A不可逆时（kA）*=k^(n-1)A*问题4，如何用秩证明\A*\=\a\^(n-1)
问题5，如何用相似对角化证明若A^2=0，则A =0（A为3阶实对称矩阵）？问题6，详细比较矩阵的秩VS向量组的秩；矩阵等价VS向量组等价；矩阵相似VS矩阵等价。
麻烦啦，考研复习线代之后有这些不懂得问题，希望老师们尽快详细解答一下！万分感谢！（就剩这些积分了………………）好心人帮帮忙！！！QQ270167423

Answer 1

1、在线性代数上是以结论的形式给出的，具体的证明不需要掌握，一定要知道，可以参看高等代数，线性变换可对角化这一块内容。
2、R（A,B）=R(A/B)，虽然 他们的性质很类似，但有几点要注意，能写出（A,B），不一定能写成
R(A/B),(前一个要求同行数，后一个要求同列数，如果两个都可以写，显然他们同型）
现在假设他们同型，他们是否相等，分别设A，B为
100
010
和
101
001
显然R（A,B）=2，而R(A/B)=3
3、因为A*的每个元素都是A的代数余子式，那么给A乘了个k，对于代数余子式中的每个元素来说都乘了k，故每个代数余子式都变为原来的k^(n-1)，将其提出易得。
4、不是用秩，而是需要对秩去分类，简单的说，当A可逆，该式子成立，而A不可逆时，A*一定不可逆，故该式子也成立，具体的证明，你可以看书，也可以看“百度知道”，很多人问过类似的问题。
5、若A可对角化，则P^(-1)AP=B（这里B是一个对角矩阵）
那么B^2=P^(-1)APP^(-1)AP=P^(-1)A^2=P^(-1)0P=0
注意到B是个对角矩阵，B^2=0一定有B=0，反求A=0
6、如果把矩阵理解成向量组的矩阵的话
矩阵的秩VS向量组的秩 他们一样
矩阵等价VS向量组等价 这个有点不一样，如果两个向量组中向量个数一样，则这两个是一样的意思。但不一样则他们的矩阵都不同型，也就谈不上等价。一般的想法。
如果列向量组A的矩阵记为A，如果列向量组B的矩阵记为B
那么列向量组A可以线性表示列向量组B的充要条件为：存在一个矩阵C，有B=CA
至于等价的话，和其他情况可照此推出，特别的，如果向量个数相同相同，A，B等价的充要条件是存在可逆C，有B=CA
矩阵相似VS矩阵等价。
相似的定义：存在可逆矩阵P，有P^(-1)AP=B
等价的定义：A可以经初等变换得到B（其充要条件是：存在可逆矩阵P1P2，有P1AP2=B）
很显然的看出，相似必等价，而等价不一定相似。

PS：很多人在知道不一定为了所谓的虚拟分，而是帮人的一种乐趣。谢谢。