高数二重积分在极坐标下的计算

Question

如何确定极坐标下二重积分的r的范围，主要是非圆的区域，详细易懂的最好有什么窍门（本人有课本不用抄书）。

Answer 1

其实极坐标的积分限确定非常容易，你可以按我说的方法试一试。首先θ的确定一般比较简单，我就不说了，关于r的确定，主要的一点，一定要把边界曲线的方程写为极坐标形式，也就是说要把曲线方程写成r=r(θ)的形式，这个形式往往就成为转化极坐标的一个关键。现在的问题是很多人不会把曲线方程写为极坐标形式，这个其实也不难，因为直角坐标方程你总会写吧，写好后，只要把x换成rcosθ，y换成rsinθ，x²+y²换成r²就行了，不过完后要写成r=r(θ)的形式。举个例子，x+y=1如果要写成极坐标方程怎么写呢？按上面的方法，就是rcosθ+rsinθ=1，然后再化为：r=1/(cosθ+sinθ)这样就行了。只要你把所有的边界曲线都写成r=r(θ)形式，r的范围也就轻而易举了。 见图：

Answer 2

由极点向积分区域发出射线,首先遇到的即为积分下限,然后遇到的为积分上限,这样也便于分块.求r时,就把转换的公式代入直角坐标系下的方程,解出r即可

Answer 3

1楼说的太好了我看懂了给1楼分吧