等差数列前n项和公式的推导过程

Question

如题所述

Answer 1

等差数列的前n项和公式可以通过以下步骤推导:

设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n。

首先，我们知道等差数列的前n项和可以表示为:Sn=a1+a2+a3+...+an

根据等差数列的定义，第二项a2=a1+d,第三项a3=a1+2d，以此类推，第n项an=a1+(n-1)d.将所有的an用a1和d表示出来，可以得到:S_n=nxa1+(1+2+..+(n-1))xd

我们知道1+2+...+(n-1)是一个等差数列的前n-1项和，其和为:(n-1)X(1+n-1)/2=n(n-1)/

因此，Sn=nxa1+n(n-1)d/2,最后，整理得到等差数列的前n项和公式:S_n=n/2x(2a1+(n-1)d)。

推导过程：

（1）假设公差为d的等差数列前n项和为Sn：Sn=a1+a2+a3+——·+an

（2）将数列中的每一项倒序排列，并将等差数列的规律添入：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)a1+(n-1)d。

（3）将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后全部除以2：Sn={a1+a1+(n-1)d}×n/2

（4）根据等差数列的通项公式，将公式中的a1和an用n和d代替：Sn={n[a1+a1+(n-1)d]}/2

（5）为了让公式更加通用，将a1+a1+(n-1)d的和记为2a1+(n-1)d：Sn={n[2a1+(n-1)d]}/2

即可得到等差数列求和公式。因此，对于任意长度为n的等差数列，可以使用公式Sn={n[2a1+(n-1)d]}/2来求和。