n方的前n项和是怎样推导出来的？

Question

如题所述

Answer 1

n方的前n项和：(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ： 　　 

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1。

 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1。 　　 

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1。 　　 

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1。　　 

把这n个等式两端分别相加，得： 　　 

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n。　 

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2。

代入上式得： 　　

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n。　　 

整理后得： 　　

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

用倒序相加法求数列的前n项和：

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。