求该圆锥的体积

Question

已知圆锥顶点为A,过母线AB,AC的截面面积是2√3，若AB,AC的夹角是60°，且母线AC的长是高的2倍，求该圆锥的体积

Answer 1

首先，连接圆锥顶点A和底面圆心O。在底面圆上任取一点D，那么四边形ABOD为圆锥的一个截面。因为夹角BAC为60°，所以四边形ABOD是一个菱形且对角线相等为底面直径，设底面直径为d，则AB=OD=d/2。
又因为AC的长是高的2倍，所以设圆锥母线为l，高为h，则有AC=l，AO=l/2，且AC=2h，即l=2h。
根据截面面积公式得到：
2√3 = 1/2 * d * l
带入AB=OD=d/2，l=2h得到：
2√3 = (d/2) * (2h)
化简得：h = √3d/4
再根据圆锥体积公式得到：
V = 1/3 * π * r² * h
由于底面圆半径r等于底面直径d/2，其值为d/4，则：
V = 1/3 * π * (d/4)² * h
代入h=√3d/4，化简可得：
V = πd³/144
因此，该圆锥的体积为πd³/144。

Answer 2

设圆锥的顶点为A，底面圆的半径为r，高为h。由题意可知，AB和AC分别是底面圆上的两条直径，且它们之间的夹角为60度。

由于AB和AC是底面圆上的直径，所以它们的长度相等，即AB = AC = 2r。

截面面积是2√3，可以推断截面是一个正六边形。

将正六边形分成六个等边三角形，其中每个三角形的面积为：

Area_triangle = (1/2) * AB * AC * sin(60°) = (1/2) * 2r * 2r * (√3/2) = 2r^2 * √3

由题目中给出的截面面积为2√3，所以有 2r^2 * √3 = 2√3，即 r^2 = 1。

由于母线AC的长度是高h的2倍，即 AC = 2h。

现在我们有三个关于圆锥的关系：

r^2 = 1

AB = AC = 2r

AC = 2h

解这个方程组，我们可以得到 r = 1，AB = AC = 2，AC = 2h，即 h = 1。

现在我们已经确定了圆锥的底面半径r和高h，可以计算体积了。

圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h

代入 r = 1 和 h = 1，得到 V = (1/3) * π * 1^2 * 1 = (1/3) * π。

所以该圆锥的体积为 (1/3) * π。

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