指数函数和幂函数可以互相转换。为什么转换后的求导结果不同。题目在图片中？

Question

一个是转换幂函数求导，另外一种方法对数求导法，二者都可以做，但做的结果是不同的，这是为什么？考试的时候要写那种结果？具体题目在图片

Answer 1

指数函数和幂函数之间的转换是指当一个函数以指数形式表示时，可以使用对数函数将其转换为幂函数形式；反之，当一个函数以幂函数形式表示时，可以使用指数函数将其转化为指数形式。

具体来说，对于一个以指数形式表示的函数f(x)=a^x，可以使用对数函数将其转化为幂函数形式f(x)=e^(ln(a)x)。同样地，对于一个以幂函数形式表示的函数f(x)=x^a，可以使用指数函数将其转化为指数形式f(x)=e^(a*ln(x))。

然而，尽管函数的形式可以转换，但它们的导数却不同。这是因为在转换过程中，出现了对数函数或指数函数的导数。具体来说：

对于指数函数f(x)=a^x转换为幂函数形式f(x)=e^(ln(a)x)，其导数为f'(x)=e^(ln(a)x)*ln(a)。这是由于在对数函数的导数中使用了链式法则。

对于幂函数f(x)=x^a转换为指数函数形式f(x)=e^(aln(x))，其导数为f'(x)=ax^(a-1)。这是由于在指数函数的导数中使用了指数函数的求导法则。

因此，虽然函数形式可以互相转换，但它们的导数会有所不同。这是因为转换过程中涉及到了不同的数学运算和求导法则。

Answer 2

直接求导的结果跟转换后求导结果是一样的，下面是直接求导的方法：
y＝x＾2x 先把指数位置上的2x看成常数，那么y就是一个幂函数 然后把底数x看成常数，那么y是指数函数，两部分求导相加
y'＝2xx＾（2x－1）＋2x＾2xlnx
＝x＾2x（2lnx＋2）

Answer 3

像这样底数和指数都有x的式子直接求导是不可取的。
你可以设个y然后两边取对数再求导之后转换过来