阿贝尔定理怎么证明呀

Question

16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。 这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。 阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理

Answer 1

1. 定理设<math>f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n</math>为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数<math>z_0</math>，级数<math>\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n</math>收敛，则有: <math>\lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n</math>。

若<math>\sum_{n \geq 0} a_n R^n</math>收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

2. 例子和应用阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上<math>x^n</math>项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

1.为计算收敛级数<math> \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} </math>，设<math>f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)</math>。于是有<math>\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2 </math>
2.为计算收敛级数<math>\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>，设<math>g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)</math>。因此有<math>\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math>

Answer 2

证明当然很长。也不是楼上说的积分收敛判别法。详情看《代数学引论》第八章。阿贝尔和伽罗华同时证明了这个定理，但伽罗华的结果更完整。他引入了Glois Group的概念让所有方程的求根公式问题得到解决。你要学了抽象代数才会证的。这是数学最伟大的理论之一本回答被网友采纳