开方开不尽的方根，如根号2，3次根号2，等等。在其无穷不循环小数中，0~9的数字出现的概率一样么？

Question

猜测是否正确，如何证明？

Answer 1

这涉及到Normal Number理论，Borel证明了无穷小数列的实数“基本”上是Normal的，也就是说其小数部分里出现0-9的概率都是相同的1/10。这里的“基本”是从测度论的角度来说的，确切的说，在一各Lebsgue测度为0的实数集里，每个实数都不是Normal的，也就是说其小数位上各个数字不是均匀分布的。不过只是这只是一个总体性的结论，对具体的比如无理数π，要证明其是不是normal是非常困难的。