设X~N(3,2²),求P{2<X≤5},P{|X|>2}.(Φ(1)=0.8413,Φ(0.5)

Question

设X~N(3,2²),求P{2<X≤5},P{|X|>2}.(Φ(1)=0.8413,Φ(0.5)=0.6915,Φ(2.5)=0.9938)

Answer 1

解题过程如下：

P{丨X丨>2}=P(X>2)+P(X<-2)

而，P(X>2)=P[(x-3)/2>(2-3)/2=-1/2]=1-Φ(-1/2)=Φ(1/2)

P(X<-2)=P[(x-3)/2<(-2-3)/2=-5/2]=Φ(-5/2)=1-Φ(5/2)

查标准正态分布表Φ(1/2)=0.6915、Φ(5/2)=0.9938

∴P{丨X丨>2}=Φ(1/2)+1-Φ(5/2)=0.6915+1-0.9938=0.6977

P{X>3}=P[(x-3)/2>(3-3)/2=0]=1-Φ(0)

而Φ(0)=1/2

∴P{X>3}=1-1/2=1/2

扩展资料

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为r?（i=1,2,...,n），体积记为Δδ?，||T||=max{r?}，在每个小区域内取点f（ξ?，η?，ζ?），作和式Σf(ξ?，η?，ζ?)Δδ?。

若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点。

果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。区域条件：对积分区域Ω无限制；函数条件：对f（x,y,z）无限制。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

Answer 2

从题目给的提示来看，这道题要用到列维-林德伯格中心极限定理， 因为普通的正态分布的概率求值是比较难做的。因此用到这个中心极限定理做变型，然后利用标准正态分布的值来计算。解题分为3步：
第一步，等量代换： X~N(3，2^2)，说明X服从的是均值为3，标准差为2的正态分布。那么设z=（X-3)/2，则z~N(0，1),即z服从均值为0，标准差为1的标准正态分布。
第二步，问题变换：P{2<X<5}，根据上一步变型，得到其等价于P{(2-3)/2<z<(5-3)/2},即P{-0.5<z<1}；同理：P{|X|>2}等价于P{|z|>-0.5}
第三步，求解：
（1）P{-0.5<z<1}=Φ(1)-Φ(-0.5)，而Φ(-0.5)根据标准正态分布图像关于y轴的对称性可知，Φ(-0.5)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085，因此Φ(1)-Φ(-0.5)=0.8413-0.3085=0.5328
（2）P{|z|>-0.5}=P{z>0.5，当z>0}或P{z<-0.5，z<0}, 而P{z>0.5}=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085, P{z<-0.5}=Φ(-0.5)=0.3085，所以P{|z|>-0.5}=0.3085+0.3085=0.617
以上就是解题的全部过程。追答

Answer 3

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Answer 4

p{-4<x<10}
=P{-4-3<x-3<10-3}
=P{-7<x-3<7}
=P{-7/4<(x-3)/4<7/4}
=2Φ（7/4)-1