已知数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7 （n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n

Question

已知数列{an} 和{bn} 的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7 （n∈N*）．将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…（1）求三个最小的数，使它们既是数列{an} 中的项，又是数列{bn}中的项；（2）数列c1，c2，c3，…，c40 中有多少项不是数列{bn}中的项？请说明理由；（3）求数列{cn}的前4n 项和S4n（n∈N*）．

Answer 1

（1）因为数列{a_n} 和{b_n} 的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7，
所以数列{a_n}的项为：9，12，15，18，21，24，…；数列{b_n} 的项为：9，11，13，15，17，19，21，23，…，
则既是数列{a_n} 中的项，又是数列{b_n}中的项的三个最小的数为：9，15，21；
（2）数列c₁，c₂，c₃，…，c₄₀的项分别为：
9，11，12，13，15，17，18，19，21，23，24，25，27，29，30，31，33，35，36，37，
39，41，42，43，45，47，48，49，51，53，54，55，57，59，60，61，63，65，66，67，
则不是数列{b_n}中的项有12，18，24，30，36，42，48，54，60，66共10项；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=6k+3=a_2k-1，b_3k-1=6k+5，a_2k=6k+6，b_3k=6k+7，
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，
∴c_n=

6k+3(n＝4k?3) 6k+5(n＝4k?2) 6k+6(n＝4k?1) 6k+7(n＝4k)

，k∈N⁺，c_4k-3+c_4k-2+c_4k-1+c_k=24k+21，
则S_4n=（c₁+c₂+c₃+c₄）+…+（c_4k-3+c_4k-2+c_4k-1+c_4k）=24×

n(n+1)

2

+21n=12n²+33n．