《运筹学》考试题
一、某厂准备以甲、乙、丙三种原料生产A、B、C、D、E五种型号的产品。已知每单位产品对原料的消耗以及每单位产品的价格，以及现在每天可以使用的原料如下表所示：
产品
原料 A B C D E 资源限量
甲 1 2 3 3 0 600
乙 4 3 2 1 1 400
丙 1 3 0 1 3 500
单位产品价格（元） 8 4 6 3 9
该厂应如何安排每天的生产计划，使总收益最大？
（1） 写出相应的线性规划问题，并求解（12分）
（2） 写出上述问题的对偶问题，并求三种原料的影子价格（6分）
（3） 若产品E的价格减少4元，该厂是否应该相应的调整生产计划（6分）
（4） 原料丙每天的限量在什么范围变化，最优基不变（6分）
二、设某种货物要由四个产地A1、A2、A3、A4运往四个销地B1、B2、B3、B4。各产地的产量，各销地的需求量以及各产地运送货物到各销地的单位运价（单位：千元/t）如下表所示：
产地
销地 B1 B2 B3 B4 产量（t）
A1 5 9 2 3 60
A2 — 4 7 8 40
A3 3 6 4 2 30
A4 4 8 10 11 50
需求量（t） 20 60 35 45
其中A2与B1之间不可达。
（1） 求总运费最小的运输方案（15分）
（2） 如果产地A4到销地B4的运输单价减少为每吨5千元，最优方案是否应改变？（5分）
三、某商业集团计划在市内四个点投资四个专业超市，考虑的商品类别为电器、服装、食品、家具和计算机。由于资金的限制及避免相互影响，每个地点只考虑设置一家超市，并且通过评估认为家具超市不能放在第3个点，并且计算机超市不能放在第4个点。不同类别超市设置在不同点的年利润（万元）预测值见下表：
地点
超市 1 2 3 4
电器 120 300 360 400
服装 80 350 420 260
食品 150 160 380 300
家具 90 200 — 180
计算机 220 260 270 —
该集团应如何设置这些超市的地点，使总利润最大？（15分）
四、一艘货轮在A港装货后驶向F港，中间需要停靠港加油、淡水三次，从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如下图所示（单位：公里），F港有三个码头F1，F2和F3，求最合理停靠码头与航线，使总路程最短。（15分）
五、某商品批发中心想在某地建造一个配送中心，当时有两种选择：建造一个大型配送中心或一个小型配送中心。其期望收益取决于竞争者的能力。如果建造一个大型配送中心，扩建后若无竞争者，估计收益为80万元，若有竞争者，收益为30万元。如果建造一个小型配送中心，又有两种附加的选择：其一是当有竞争者时就一直保持小型配送中心（预期收益20万元）；其二是若无竞争者时三年后可决定是否再扩建，扩建时预期收益为60万元，不扩建为35万元。估计前三年内有竞争者的概率为50%，又知除非前三年出现竞争者外，否则就不会出现竞争者。试求该决策中心的最优决策方案。（10分）
六、某地方电视台考虑怎么安排娱乐、新闻和商业节目的播出时间，以获得最好效益．依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，娱乐节目每播送一分钟消耗17.5美元．按法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20%，每小时至少安排5分钟新闻节目．问每天的广播节目该如何安排？优先级如下： 首先必须满足法律要求；其次每天的纯收入尽可能大；第三为保证收视率，应尽可能多安排娱乐节目时间．试建立该问题的数学模型．（只需建立模型，不必求解，10分）