首先，要弄清开普勒运动中的一些守恒量。
r是物体与中心天体的距离，v是物体速度，m是物体质量，M是中心天体质量，L是物体角动量，θ是物体速度与物体和中心天体连线的夹角。
角动量守恒：L'=mr'×v'(其中L',r'与v'是矢量，×是叉乘)
机械能守恒：这个不用说了，不过用机械能来推导好像很难推导。
然后就是隆格-愣次矢量，这个是从纯理论上推导出来的守恒量
B'=v'×L'-GMmr'/r=常量
r'·B'=r'·(v'×L')-GMmr=L'·(r'×v')-GMmr=L^2/m-GMmr
其中r'·B'=rBcosθ
解得：r=p/(1+εcosθ)
式中：p=L^2/(GMm^2)，ε=B/GMm
这便是极坐标下描绘的圆锥曲线，ε是离心率，p是半正焦弦
然后是你“顺便”的问题，我只能告诉你，是相等的
根据开普勒定律，开普勒运动物体轨迹半轴长a=K^(1/3)T^(2/3)（其中K=GM）
也就是说，周期一定的运动，那么它的半轴长就确定了（不管是圆还是椭圆）。
然后根据a=-GMm/(2E),也就是说，能量只与半轴长有关。这个你用上面式子算算看是不是，反正我是懒得算了。
参考资料：书，而且是物理书