高数。关于格林公式。

Question

如题所述

Answer 1

（1）
由于原积分满足Q'x=P'y。且含有一个奇点(1,0)。
但是x^2+y^2-2y=0不包含这个奇点。
所以
原积分=0

(2)
因为L: 4x^2+y^2-8x=0
是个中心在(1,0)，长半轴为a=2, 短半轴为b=1的椭圆，包含奇点。

所以可以构造L2：(x-1)^2+y^2=1。
因为L2是一个包含奇点，且在L内的一个圆，所以 ∫(L) Pdx+Qdy=∫(L2) Pdx+Qdy

根据参数方程x=1+cosθ，y=sinθ, 0<=θ<=2π

所以
∫(L) Pdx+Qdy=∫(L2) Pdx+Qdy
=∫ydx-(x-1)dy
=∫sinθ d(1+cosθ)-cosθ dsinθ
= -∫(0->2π) dθ
= -2π