高数题，二重积分求原函数怎么都不知道怎么算，这玩意真浪费时间啊？

Question

如图，花了我好久时间都没头绪

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

可直接用极坐标变换：设x=rcosu,y=rsinu,dxdy=rdrdu,
D:r≤2sinu,0≤u≤π，
原式=∫<0,π>du∫<0,2sinu>(rcosu+1)^2*rdr
=∫<0,π>du∫<0,2sinu>(r^3cos^u+2r^cosu+r)dr
=∫<0,π>du[(1/4)r^4cos^u+(2/3)r^3cosu+(1/2)r^]|<0,2sinu>
=∫<0,π>[4(sinu)^4cos^u+(16/3)(sinu)^3cosu+2sin^u]du
其中第二项的积分为（4/3）（sinu）^4|<0,π>=0,
所以上式=∫<0,π>[(1/2)(1-cos2u)^2(1+cos2u)+1-cos2u]du
=∫<0,π>{(1/2)[1-cos2u-cos^2u+(cos2u)^3]+1-cos2u}du
=∫<0,π>[3/2-(3/2)cos2u-(1/4)(1+cos4u)+(1/2)(cos2u)^3]du,
其中∫<0,π>[-(3/2)cos2u-(1/4)cos4u]du
=[(-3/4)sin4u-(1/16)sin4u]|<0,π>
=0,
所以原式=∫<0,π>[5/4+(1/2)(cos2u)^3]du,
其中第一项的积分是5π/4，
第二项的积分=∫<0,π>（1/4）[1-sin^2u]d(sin2u)
=(1/4)[sin2u-(1/3)(sin2u)^3]|<0,π>=0,
所以原式=5π/4.