高一数学知识点总结

Question

如题所述

Answer 1

高一数学必修1第一章知识点总结

一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性,
(2) 元素的互异性,
(3) 元素的无序性,
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1） 列举法：{a,b,c……}
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4） Venn图:
4、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作 ，即
CSA=

韦
恩
图
示

性

质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ．

例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A= ，B= ，若A B，则 的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
○1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；
○2 作差f(x1)－f(x2)；
○3 变形（通常是因式分解和配方）；
○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○2确定f(－x)与f(x)的关系；
○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4) 消参法
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
例题：
1.求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
2.设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _
3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是
4.函数 ，若 ，则 =

6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
7.已知函数 满足 ，则 = 。
8.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ (2)
10.判断函数 的单调性并证明你的结论．
11.设函数 判断它的奇偶性并且求证： ．

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Answer 2

高中数学必修4复习资料

2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．
第一象限角的集合为 二象限
第三象限 第四象限
终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角 终边相同的角的集合为
4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份，再从 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度．
6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 ．
7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， ．
8、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，则 ， ， ．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线： ， ， ．
12、同角三角函数的基本关系：
；
．
13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）
， ， ．
， ， ．
， ， ．
， ， ．
， ．
， ．
14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象．
函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象．
函数 的性质：
①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．
函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则 ， ， ．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为 的向量． 单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：①交换律： ；②结合律： ；③ ．
⑸坐标运算：设 ， ，则 ．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设 ， ，则 ．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
19、向量数乘运算：
⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ．
① ；
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ．
⑵运算律：① ；② ；③ ．
⑶坐标运算：设 ，则 ．
20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．
设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线．
21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 ．（不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是 ．
23、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与任一向量的数量积为 ．
⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当 与 反向时， ； 或 ．③ ．
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则 ．
设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则 ．
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
⑸ （ ）；
⑹ （ ）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
(1) ． （2） (3)
(4) （ ， ）．
26、 ，其中 ．
三角函数基础训练题
一．选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、角α的终边落在区间（－3π,－52 π）内,则角α所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知角α的终边过点P（－1,2）,cos 的值为 （ ）
A．－ B．－5 C． D．
4、如果 则 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
5、函数 的图象可看作是函数 的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（　　）.
　A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位
6、与函数 图象不相交的一条直线是（ ）.
A． B． C． D．
7、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A．sin B．cos C．tan D．
8、已知sinαcosα = 18 ,则cosα－sinα的值等于 （ ）
A．±34 B．± C． D．－
9、如果角 满足 ,那么 的值是 （ ）
A． B． C． D．
10、sin •cos •tan 的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
11、已知 那么 （ ）
A． B． C． D．
12、已知 ，那么 的值为　（　　）
A.　 　　　 B. 　 　　　 　C.　 　　　 　D.
13、 的值是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
14、函数 的定义域为（ ）.
A． B．
C. D． 且
二．填空题
15、函数 的周期是________________________.
16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．
17、若 ，则 的值为____________．
18、已知sin tan ≥0，则 的取值集合为 ．
19、函数 的图象的对称轴方程是
20、函数 的最小正周期是
21、已知sinθ+cosθ＝ (0＜θ＜π ，则cos2θ的值为
22、记 ，（ 、 、 、 均为非零实数），
若 ，则 =
三.解答题
23、若函数 ，⑴画出函数在区间 上的简图；⑵指出函数在区间 上的单调区间及单调性，最大值和最小值．

24、已知 ,求 的值.

25、已知 为第二象限角，

26、求值:

27、⑴化简 ；

⑵证明： ．

28、已知 ， 是方程 的两根，求 的值．

29、已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C ，其中 ，
（1）若 ，求角 的值；
（2）若 ，求 的值。

平面向量基础训练题
一、选择题
1．若向量 =（1，1）， =（1，-1）， =（-1，2），则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若取两个互相垂直的单位向量 i， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b的数量积等于（ ）
A．–45 B．45 C．–1 D．1
3． O是ΔABC所在的平面内的一点，且满足（ - ）•（ + -2 ）=0，则ΔABC的形状一定为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．斜三角形
4．下面的四个命题：① ； ② ；
③若 ； ④若
其中真命题是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
5．将抛物线 的图象按向量 平移，使其顶点与坐标原点重合，则 =（ ）
A．（2，-3） B．（-2，-3） C．（-2，3） D．（2，3）
6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
①对于实数m和向量
②对于实数m, n 和向量
③若 ④若
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知 ，则向量 在向量 上的投影为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
8．已知向量 =（3，-2）， =（-5，-1），则 等于（ ）
A．（8，1） B．（-8，1） C．（4，- ） D．（-4， ）
9．已知|p|= ，|q|=3，p，q的夹角为 ，则以a=5p+2q，b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A．15 B． C．14 D．16
10．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a•b等于（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
11．若|a|=|b|=1，a⊥b且2a+3b与ka-4b也互相垂直，则实数k的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-3 D．3
12．设a、b、c为平面向量，下面的命题中：①a•（b-c）=a•b-a•c；②（a•b）•c=a•(b•c)；③（a-b）2=|a|2-2|a|•|b|+|b|2；④若a•b=0，则a=0或b=0。正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
13．已知e是单位向量，求满足a∥e且a•e =－18的向量a=_______.
14．设a=(m+1)i－3j，b=i+(m－1)j，(a+b) ⊥(a－b), 则m=___ ___.
15．若 • + = 0，则ΔABC的形状为 。
16．把函数 的图象按向量a平移，得到 的图象，且a⊥b，c=（1，-1），b•c=4，则b= 。
13．－18e 14．－2 15．直角三角形 16．（3，-1）
17、若 ， ，则 的数量积为 .
18、向量 与 共线且方向相同，则 =　　　　　　.
19、已知A（3，y），B（ ，2），C（6， ）三点共线，则y=_________.
20、已知 =(－3，4)，若 ＝1， ⊥ ，则 = .
21、非零向量 和 满足： ，则 与 的夹角等于 .
22、已知| |=10，| |=12，且（3 ）•（ ）=－36，则 与 的夹角是 .
23、如果 ＝1， ＝2， 与 的夹角为 ，则 等于 .
三、解答题
24．已知向量a=e1-e2，b=4 e1+3 e2，其中e1=（1，0），e2=（0，1）。
（Ⅰ）试计算a•b及|a+ b|的值； （Ⅱ）求向量a与b的夹角的余弦值。

25．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
（Ⅰ）求证：（a－b）⊥c； （Ⅱ）若|ka+b+c|>1（k∈R），求k的取值范围.

26．已知f（A,B）= 。
（Ⅰ）设A、B、C为ΔABC内角，当f（A, B）取得最小值是，求∠C；
（Ⅱ）当A+B= 且A、B∈R时，y=f（A, B）的图象通过向量p的平移得到函数y=2cos2A的图象，求向量p。

27．平面直角坐标系内有点P（1，cosx），Q（cosx，1）， 。
（Ⅰ）求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（Ⅱ）求θ的最值。

28．已知a =（cos ，sin ），b=（cos ，sin ），a与b之间有关系式|ka+b |= |a-ka|，其中k>0。
（Ⅰ）用k表示a•b；（Ⅱ）求a•b的最小值，并求此时a与b的夹角θ的大小。

29．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（Ⅰ）若| | ，且 ，求 的坐标；
（Ⅱ）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角θ.本回答被网友采纳