计算∫∫∫z^2dxdydz，其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分。用球面坐...

Question

计算∫∫∫z^2dxdydz，其中Ω是两个球：x^2+y^2+z^2≤R^2和x^2+y^2+z^2≤2Rz(R>0)的公共部分。用球面坐标系求……拜托！！

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

解：原式=∫<0,2π>dθ∫<0,π/3>sinφdφ∫<0,R>(rcosφ)²r²dr (作球面坐标变换)
=2π∫<0,π/3>sinφcos²φdφ∫<0,R>r^4dr
=-2πR^5/5∫<0,π/3>cos²φd(cosφ)
=-2πR^5/15(1/8-1)
=7πR^5/60。本回答被网友采纳

Answer 3

原式=∫dθ∫sinφdφ∫(rcosφ)²r²dr (作球面坐标变换)
=2π∫sinφcos²φdφ∫r^4dr
=-2πR^5/5∫cos²φd(cosφ)
=-2πR^5/15(1/8-1)
=7πR^5/60。