导数题目。。。

Question

作业好多，来不及做啦，还有4天4张数学报纸，做不完了。。我数学很烂。。麻烦大家帮帮忙哈。。。1.利用导数的定义求函数y=1/√x的导数。 2.求下列函数的导数：(1)y=-sin x/2(1-2cos^2 x/4);(2)y=1nx/x^2+1;(3)y=3^x e^x-2^x+e 3.设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a、b、c、d,使得f'(x)=xcos x. 4.已知函数f(x)=x^3-3x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。 5.已知曲线C1：y=x^2与C2:y=-1(x-2)^2,直线L是C1和C2的公切线，求公切线L的方程。 6.已知函数f(x)=-x^3+ax^2+b.(1)求证：若函数y=f(x)图像上任意不同两点连线的斜率都小于1，则-√3≤a≤√3；(2)若x∈[0,1],函数y=f(x)图像上任一点切线的斜率为k，求|k|≤1时a的取值范围。 

Answer 1

1.函数y=1/√x的导数=(当△x->0)lim（1/√（x+△x）-1/√x）/△x
=(当△x->0)lim（√x-√（x+△x））/(△x√（x+△x）√x)
=(当△x->0)lim{-1/[√（x+△x）√x(√x+√（x+△x))]}
=-1/(x(√x+√x))
=-1/(2x^(3/2))
=-x^(-3/2)/2
2.(1).y'=-(1/2)*cos(x/2)*(1-2（cos(x/4)^2))-sin(x/2)*(-2*2cos(x/4)*（-sin(x/4))*(1/4))
=-(1/2)*cos(x/2)*(1-2（cos(x/4)^2))-sin(x/2)*(cos(x/4)*sin(x/4))
=-(1/2)cos(x/2)+cos(x/2)*(cos(x/4)^2)-(1/2)*(sin(x/2)^2)
(2)y'= [(1/x)*(x^2+1) - lnx*(2x) ] /(x^2+1)^2
= [ x +1/x - 2x*lnx ] /(x^2+1)^2
(3)y'= [ln3*3^x*e^x + 3^x*e^x ]- [ln2*2^x} + 0
= ln3*3^x*e^x + 3^x*e^x - ln2*2^x
3.f'(x)=asinx+(ax+b)cosx+c*cosx-(cx+d)sinx
=(a+d)sinx-cxsinx+axcosx+(b+c)cosx
恒等于xcosx=>a+d=0,c=0,a=1,b+c=0
a=1 b=0 c=0 d=-1
4.f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x²-3，设切点为P(a,a³-3a)
则过P点的切线方程为
y=f'(a)(x-a)+a³-3a=3(a²-1)x-2a³
切线过A(0,16)
16=0-2a³，解得a=2
切线方程 y=9x-16
5.设,直线L的方程为Y=KX+b,
y=x^2,y=kx+b,
x^2-kx-b=0,直线L与C1、C2都相切，
⊿=0,即,
(-k)^2-4(-b)=0........(1),
y=-(x-2)^2,y=kx+b,
x^2+(k-2)x+4+b=0,
⊿=0,
(k-2)^2-4(4+b)=0.......(2),
联解(1),(2)式方程得,
k1=1+√7,b1=-(4+√7)/2,
k2=1-√7,b2=-(4-√7)/2.
则直线L的方程为:
Y=(1+√7)X-(4+√7)/2,或
Y=(1-√7)X-(4-√7)/2.
6.(1).求导,f(x)的导数为-3X^2+2aX
任意不同的两点间连线斜率都小于1即导数恒小于1
即为3X^2-2aX+1>0恒成立
则只需判别式=4a^2-12<0即可
即a^2<3,则-根号3<=a<=+根号3
(2).f(x)'=-3x^2+2ax=x(-3x+2a)
即求在（0，1）上绝对值恒小于1的充要。
过（0，0），（2a/3,0）

当0<2a/3<1
求出f(x)'顶点和f(0)'，f(1)'，三个同时在-1，1区间内，解不等式组；

当2a/3<=0
f(1)'的值在-1，1区间内，解不等式；

当1<=2a/3
f(0)'的值在-1，1区间内，解不等式；