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线性相关与无关与秩的关系
线性相关和线性无关有什么
联系和区别?
答:
原因:
线性相关
就是各行或列能互相线性表示,能进行初等变换,把某一行或列变换到另一行或列,最后有一行会全为0,计算时行列式就等于0。所以行列式等于0就是线性相关。相反的,
线性无关
它的行列式不等于0,说明是满
秩
,没有一行或一列全为0。没有具体的定理。在 n 维欧几里得空间中,行列式描述的...
列向量a
线性无关和
列满
秩的
区别
答:
解析:因为矩阵的列
秩
就是其列向量组的最大线性无关组所含向量的个数,如果矩阵列满秩,则其列向量组的最大线性无关组所含向量的个数一定等于矩阵的行数。即矩阵的列向量组是
线性无关的
。同样对行也是一样。证明:1、分别称为行满秩(r(A)等于A的行数)和列满秩(r(A)等于A的列数)2、A行满...
向量组的
秩
与向量组
线性相关
吗
答:
说明它的
秩
只能是≤n-1,而列向量构成的向量空间的维数也只能是≤n-1,有n个列向量,如果
线性无关的
话,它们就能构成向量空间的一组基,那维数就是n,矛盾,所以一定
线性相关
。向量组的相关性质 (1)当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时,该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量...
什么是
线性相关和线性无关
?
答:
向量组等价的基本判定是:两个向量组可以互相
线性
表示。需要重点强调的是:等价的向量组的
秩
相等,但是秩相等的向量组不一定等价。向量组A:a1,a2,…am与向量组B:b1,b2,…bn的等价秩相等条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。向量组等价和矩阵等价是两个不...
向量组1
和
向量组2的
秩有什么关系
?
答:
根据向量组A(s个向量)可由向量组B(t个向量)线性表出,且s>t,则向量组A
线性相关
。则α1、α2、...、αm线性相关,与题设矛盾,故可得m<=n,即向量组1的
秩
小于等于向量组2的秩。其中,线性表出:设α₁,α₂,…,αₑ(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量...
线代 向量组的
秩和
极大
无关
组
的关系
答:
一个向量组的
秩
就等于这个向量组的极大无关向量数。例如下题,向量组有5个向量,其中极大无关向量数3个,即向量组的秩r=3。但任取3个向量不一定
线性无关
,例如α1、α2、α3三向量
线性相关
。
向量组
线性相关的
充要条件是向量组的
秩
小于3吗
答:
所以向量组
线性相关
。判除了用定义之外,用
秩
判断线性相关时,就是看秩是不是小于向量个数,小于就线性相关,等于就
线性无关
。理由如下。因为用定义判断的话,就是看齐次线性方程组(a1,a2,...,an)x=0是不是有非零解,这就归结于系数矩阵(a1,a2,...,an)的秩与n
的关系
,n就是向量个数。
如何理解
秩
与
线性相关
?
答:
1、显式向量组:将向量按列向量构造矩阵A,对A实施初等行变换,将A化成梯矩阵,梯矩阵的非零行数即向量组的
秩
向量组
线性相关
<=>向量组的秩<向量组所含向量的个数。2、隐式向量组:一般是设向量组的一个线性组合等于0,若能推出其组合系数只能全是0,则向量组
线性无关
,否则线性相关。向量的...
如何理解线性代数中的
秩
与
线性无关
?
答:
线性代数中,当有一个单位列向量a时,我们考虑其与自身的转置a'的乘积a乘以a'的秩。根据线性代数的性质,我们可以证明该秩等于1。关键在于理解
秩的
定义,秩r(A)表示矩阵A的列向量组的极大
线性无关
组的大小。为了证明r(A'A)等于r(A),我们需要展示方程组AX=0和A'AX=0的解集相同。如果AX=0,...
线性无关
特征向量的个数与矩阵
秩
之间有
关系
吗
答:
从而求解线性方程组和矩阵变换等问题。同时,这个关系也提供了求解
秩的
一种简便方法:只需确定矩阵的特征值和相应的特征向量,计算
线性无关
的特征向量个数,即可得到矩阵的秩。综上所述,线性无关特征向量的个数与矩阵的秩之间存在一定
的关系
,其深层次的解释需要依赖于线性代数的相关理论和概念。
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