高中文数 数列题

Question

如题所述

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Answer 2

高中数学数列基本题型及解法
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证anan1(an/an1)为同一常数。
(2)通项公式法：
①若
②若
= +（n-1）d= +（n-k）d ，则an为等差数列； ，则an为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2. 在等差数列an中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当a1>0,d<0时，满足am0的项数m使得Sm取最大值. am10
取最小值。 am0(2)当a1<0,d>0时，满足的项数m使得a0m1
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
三、注意事项
1．证明数列an是等差或等比数列常用定义，即通过证明an1ananan1 或an1an而得。 anan1
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意sn与an之间关系的转化。如：
nn1S10 ， an=a1(akak1)． an=SS0n2k2n1n
四、例题解析
例2．已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,
⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cn),a11，
⑶求数列an的通项公式及前n项和。
探索解题的途径．
an,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn1=4an+2，可由Sn2-Sn1作切入点
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说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件Sn14an2得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．设数列{an}的前项的和Sn=
例4、设a1=1,a2=1（an-1） (nN+),（1）求a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。 3552,an+2=an+1-an (n=1,2,---),令bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的通项公式，(2)求数列333
{nan}的前n项的和Sn。
*例6．数列an中，a18,a42且满足an22an1an nN
⑴求数列an的通项公式；
⑵设Sn|a1||a2||an|，求Sn；
1(nN*),Tnb1b2bn(nN*)，是否存在最大的整数m，使得对任n(12an)
m意nN*，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 32⑶设bn=
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。.
常用方法
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，„
4916,3,4, 51017
212,,, （3）1,325
1234,, （4）,,2345（2）1,2
观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。
二、定义法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
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当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 三、 叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，„求此数列的一个通项。
一般地，对于型如an1anf(n)类的通项公式，只要f(1)f(2)f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。
四、叠乘法
例4：在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an1=n·an，求an的表达式。
一般地，对于型如an1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。
五、公式法
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式
Snn1 求解。 anSnSn1n2
例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。
（1）Snn3n1。