自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？

Question

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 还有 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 这两个公式怎么推导！？

Answer 1

我们知道：1+2+3+......+n=n(n+1)/2。还知道1³=

12³=(1+1)³=1³+3*1²+3*1+13³=(2+1)³=2³+3*2²+3*2+14³=(3+1)³=3³+3*3²+3*3+1......n³=(n-1+1)³=(n-1)³+3*(n-1)²+3*(n-1)+1

(n+1)³=n³+3*n²+3*n+1
全部相加。如果我们注意到每一行的第一项都与下一行第二个等号后的第一项抵消了的话，就得到以下结果：(n+1)³=1+3(1²+2²+3²+......+n²)+3(1+2+3+......+n)+(1+1+1+......+1)令1²+2²+3²+......+n²=S

则(n+1)³=1+3S+3(n(n+1)/2)+n

整理得3S=(n+1)³-1-3(n(n+1)/2)-n6S=2(n+1)³-2-3(n(n+1)-2n=2(n³+3n²+3n+1)-2-3(n²+n)-2n=2n³+6n²+6n+2-2-3n²-3n-2n=2n³+6n²-3n²+6n-3n-2n+2-2=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)S=n(n+1)(2n+1)6第二个可以用和的四次方公式参照以上方法推导。
补充：
但是用以下方法更简单一点：1³=11³+2³=1+8=9=3²=(1+2)²1³+2³+3³=1+8+27=36=6²=(1+2+3)²......1³+2³+3³+......+n³=(1+2+3+......+n)²