1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的？

Question

如题所述

Answer 1

1、1到N的平方和推导：1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1

......

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

2、1到N的立方和推导:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　

代人上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 2

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，
推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,
.......
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式整理后得：
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，
推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，
......
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　
代人上式整理后得：
1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 3

1^3+2^3+……+n^3=（1+2+…+n）^2，

1^2+……+n^2=n（n+1）（2n+1）/6。

Answer 4

Answer 5

1、1到N的平方和推导：1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1

......

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）

3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6

2、1到N的立方和推导:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把这n个等式两端分别相加,得：

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，　　

代入上式整理后得：

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

扩展资料：

完全立方公式包括完全立方和公式和完全立方差公式，完全立方和(或差)公式指的是两数和(或差)的立方等于这两个数的立方和(或差)与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和(或差)，即(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3。

平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a，简写成a²，也可写成a×a(a的一次方乘a的一次方等于a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符号为2。

参考资料来源：百度百科--完全立方公式

参考资料来源：百度百科--平方和公式

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