高三数学，最后一道大题，求解析，越详细越好，谢谢

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=-x^3+x^2
f'(x)=-3x^2+2x=0,解得x1=0,x2=2/3
在x<0或x>2/3时f'(x)<0,函数单调减,在0<x<2/3时有f'(x)>0,函数单调增
故在x=0处有极小值是f(0)=0,在X=2/3处有极大值,是f(2/3)=-8/27+4/9=4/27
(2)g(x)>=-x^2+(a+2)x在x属于[1,e]上恒成立
设h(x)=g(x)+x^2-(a+2)x>=0在[1,e]上恒成立
h'(x)=a/x+2x-(a+2)=(2x^2-(a+2)x+a)/x=[(2x-a)(x-1)]/x=0
得到x1=a/2,x2=1
(i)a/2=<1时即有a=<2时在[1,e]上函数递增,则有h(x)的最小值是h(1)=aln1+1-(a+2)*1>=0,得a=<-1
(ii)1<a/2<e时即有2<a<2e,在[1,a/2]上函数单调减,在[a/2,e]上单调增,则有最小值是h(a/2)=alna/2+a^2/4-(a+2)*a/2>=0
lna/2+a/4-a/2-1>=0
lna/2>=a/4+1
由于1<a/2<e,则有0<lna/2<1,故上式无解.
(iii)a/2>=e,即有a>=2e时在[1,e]上单调减,则有最小值是h(e)=alne+e^2-(a+2)e>=0
解得a+e^2-ae-2e>=0, e^2-2e>=(e-1)a
即有a<=(e^2-2e)/(e-1)
综上有范围是a<=(e^2-2e)/(e-1)
(3)
设Q在y=alnx (x≥1)的那段曲线上
则令Q(r,alnr),向量OQ=(r,alnr) （r>1)
若直角三角形POQ斜边中点在y轴上
则P(-r, r³+r²),向量OP=(-r, r³-r²)
∵O为直角顶点
∴向量OP·向量OQ=0
∴-r²+alnr *(r³-r²)=0
∴1+a(1-r)lnr=0
lnr=1/[a(r-1)] (#)
只要(#)有解即可
g(r)=lnr是(1,+∞)上的正函数，值域为(0,+∞)
h(r)是(1,+∞)的减函数,值域为(0,+∞)
∴g(r),与h(r)图像有且只有唯一的交点
∴无论a取任何正值，（#）总有解

即曲线上存在两点P、Q，使得△POQ是
以O为直角顶点的直角三角形，且此 三
角形斜边中点在y轴 上

Answer 2

1、已知f(x) 那么f(x)的导数 是-3x^2+2x 令f(x)导数=0 求解方程 得到两个解x1=0 x2=2/3
f(0)=0 f（2/3)=4/27那么f(x)的单调区间分别为（-无穷，0）单调减区间 [0,2/3]单调增加 [2/3,+无穷】单调减区间。极值分别为f(0)=0 f（2/3)=4/27
2、将g(x)≥-x^2+(a+2)变为 -x^2+(a+2)x-alnx≤0 即x^2-(a+2)x+alnx≥0
令G(x)=x^2-(a+2)x+alnx 那么G(x)在[1,e]区间恒大于等于0
对G(x)求导 导数为 2x-a-2+a/x 令导数=0求解x1=a/2 x2=1
将a/2 ,1, e三个数值带入 G(x)中G(1)=1-a-2≥0 解1（1）a≤-1
G(e)=e^2-(a+2)e+a≥0(2)a≤(e^2-2e)/(e-1) 这个数>0
讨论：由于（1）a≤-1 所以a<0 a/2 必＜0不在[1，e]范围中G(a/2)不予考虑。
3、假设存在则分两种情况，原点右侧点在f(x)上和g(x)上
易证不可能在f（x)上 那么原点左侧点坐标（-x1,-x1^3+x1^2) 右侧点（x1,alnx1) 再根据够勾股定理或两直角边平方和等于斜边长，或直角向量相乘=0 证明关于x1的方程在a等于什么情况下有解就好

Answer 3

解析几何的，，考你数形结合