一个高中数学的立体图形证明题目，只要你回答出来，一定好评，在线等。

Question

如题所述

Answer 1

在平面四边形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠PCB=105°，将四边形PABC沿AC折起，使面PAC⊥面ABC，D,E分别是棱PB,PC的中点。
（1）求证：BC⊥面PAB；
（2）求面ADE与面ABC所成角的余弦值。
（1）证明：∵在平面四边形PABC中，PA=AC=2，∠P=45°，
∴PA⊥AC
∵∠B=90°，∠PCB=105°，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∵PAC⊥面ABC，∴PA⊥面ABC
∵面PAC∩面PAB=PA，∴面PAB⊥面ABC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥面PAB；
（2）解析：过A作AG⊥面PAC；
建立以A为原点，以AC方向为X轴，以AG方向盘为Y轴，以AP方向盘为Z轴正方向的空间直角三角形坐标系A-xyz
则点坐标：A(0,0,0)，B(3/2,√3/2,0)，C(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，D(3/4,√3/4,1)
向量AD=(3/4,√3/4,1)，向量AE=(1,0,1)，
设向量m=(x,y,z)是面ADE的一个法向量
向量AE*m=x+z=0
向量AD*m=3/4x+√3/4y+z=0
令y=√3，则x=3,z=-3
∴向量m=(3,√3,-3)==>|向量m|=√21
取平面ABC的法向量n=(0,0,1)
向量m*向量n=-3
则cos<m,n>=m*n/[|m||n|]=-3/√21=-√21/7
∴ADE与面ABC所成角的余弦值为√21/7