第1个回答 2013-12-04
因式分解，也叫分解因式，
是把多项式相加的式子，变成一个个式子相乘的形式；
如果看示意图，就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”
“月” 和 “目” 就是 3a、3b 的两个长方形，写成 3a + 3b 像 “朋” 就是两项式
如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”，就是 3(a + b) 的一个长方形
把 3a + 3b 相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子就是因式分解
分解因式最简单的方法，就是提公因式
不过要注意，公因式不仅是系数、字母，还会是一个式子，例如
(a+b)(3m+2n) + (2m+3n)(a+b)，公因式是 (a+b)
= (a+b)( 3m + 2n + 2m + 3n )
= (a + b)( 5m + 5n ) 这样再提系数 5
= 5( a + b )( m + n )
公式法，
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒过来用
a" - b" = (a - b)(a + b)
a" + 2ab + b" = (a + b)"
a" - 2ab + b" = (a - b)"
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")
分组分解法，十字相乘法，最好还是结合起来
先把一次项一分为二，
系数、因数，先不管一次项，看看常数项：
Q 如果常数项是负数，一次项系数就是两个因数的相差数；
Q 如果常数项是正数，一次项系数就是两个因数的和；
这样分开两组提公因式，做起来就轻松多了；
就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
完全平方式
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"
常数项为正数，一次项是分开两项的和；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
还有，负负得正
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )
常数项为负数，一次项是分开两项的相差数；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
还有
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )
看到了吧，一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
还有 5x 和 6 ，15x 和 54 ，20x 和 96 ，都是这样 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，你自己也试一试吧。
分解因式这个方法
关键是常数项的正负决定了一次项系数怎样分开两项，
接下来一步一步，分别提取公因式就轻松多了；
只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 4X9=36，5X9=45，那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
如果记公式不熟悉，就看看我的办法
平方差 a" - b" = (a - b)(a + b) 相信我们都熟悉，
我还发现，算平方用平方差比完全平方更方便
a" = a" - b" + b" = (a - b)(a + b) + b"
这样 (a - b) 或 (a + b) 就可变成整十整百来计算，例如
99" = 99" - 1" + 1 = (99 - 1)(99 + 1) + 1 = 98X100 +1 = 9801
8X8 = 8" - 2" + 4 = ( 8 - 2 )( 8 + 2 ) + 4 = 6 X 10 + 4 = 64
7X7 = 7" - 3" + 9 = ( 7 - 3 )( 7 + 3 ) + 9 = 4 X 10 + 9 = 49
6X6 = 6" - 4" +16 = ( 6 - 4 )( 6 + 4 ) + 16 = 2 X 10 + 16 = 36
11" = 11" - 1" + 1 = (11 - 1)(11 + 1) + 1 = 10 X 12 + 1 = 121
15" = 15" - 5" +25 = (15 - 5)(15 + 5) +25 = 10X20 +25 = 225
这样也帮我们记住，完全平方第三项是 +b"
或者有了我的方法和平方差公式，
完全平方公式也可以抛开不用了
立方和与立方差，我自己是先记一个立方差
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )
公式原先是立方差，分解因式有一个就是 (a - b)，另一个就三个二次项都是正数
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
这样对照一下，立方和就是把立方差倒过来。
具体例子，还可以看
8 - 1 = 7
2"' - 1 = 4 + 2 + 1
2"' - 1 = 1 X ( 2" + 2 + 1 )
2"' - 1 = ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
见到 8 - 1 = 4 + 2 + 1 ，我就立即想到 “棋盘上的麦粒” 问题
通过各种联想，各种生动的形象，
就能把我们的一个个知识点串连起来，
我们就能学得牢、记得牢。
注意，分解因式，必须尽可能地，把指数分解得越小越好
能够继续分解，就要继续分解，所以还要尽可能地为继续分解创造条件
例如我的一个经验教训
a^6 - b^6
我做成
= (a")"' - (b")"'
= (a" - b")[ (a")" + a"b" + (b")" ]
= (a - b)(a + b)(a^4 + a"b" + b^4)
这样还有四次项就不对
应该
= (a"')" - (b"')"
= ( a"' - b"' )( a"' + b"' )
= (a - b)(a" + ab + b")(a" - ab + b")(a + b)