计算二重积分xy^2dxdy，其中D是由圆周x^2+y^2=4及y轴所围成的右半闭区间。求解过程

如题所述

第1个回答 2012-01-06

解：∫∫<D>xy²dxdy=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2>(rcosθ)*(rsinθ)²*rdr (应用极坐标变换)
=∫<-π/2,π/2>(cosθsin²θ)dθ∫<0,2>r^4dr
=∫<-π/2,π/2>sin²θd(sinθ)∫<0,2>r^4dr
=[(sin³θ/3)│<-π/2,π/2>]*[(r^5/5)│<0,2>]
=(1/3+1/3)*(2^5/5)
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