在△ABC中，A=30° ，BC=2根号5，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为

Question

如题所述

Answer 1

解： 如图，已知

   S△BCD=4   αα △△

     所以 CD x BC x sinα=4

     2x 2 √5 x sinα=4

     sinα=√5/5 

     所以cos α= 2√5/5

根据余弦定理  BD=√（4+20-2x2x2 √5 x2√5/5）=2√2

在△BCD中，根据正弦定理

sinB=CDxsinα/BD=2x √5/5 /2√2=√10/10

在△ABC中，根据正弦定理

 AC/sinB=BC/sinA

  AC=  sinB x  BC/sinA

       =√10/10 x 2√5 /sin30

       =2√50/10  x 2

即  AC=2√2

Answer 2

过C作CE⊥AB交直线AB于E。
∵△BCD的面积＝4，∴（1/2）BC×CDsin∠BCD＝4，∴（1/2）×2√5×2sin∠BCD＝4，
∴sin∠BCD＝2/√5。
一、当∠BCD为锐角时，cos∠BCD＝√［1－（sin∠BCD）^2］＝√（1－4/5）＝1/√5。
　　由余弦定理，有：
　　BD^2＝BC^2＋CD^2－2BC×CDcos∠BCD＝20＋4－2×2√5×2×（1/√5）＝18，
　　∴BD＝3√2。
　　∴△BCD的面积＝（1/2）BD×CE＝4，∴（1/2）×3√2×CE＝4，∴CE＝4√2/3。
　　∵CE⊥AE、∠CAE＝30°，∴AC＝2CE＝8√2/3。
二、当∠BCD为钝角时，cos∠BCD＝－1/√5。
　　由余弦定理，有：
　　BD^2＝BC^2＋CD^2－2BC×CDcos∠BCD＝20＋4＋2×2√5×2×（1/√5）＝30，
　　∴BD＝√30。
　　∴△BCD的面积＝（1/2）BD×CE＝4，∴（1/2）×√30×CE＝4，∴CE＝4√30/15。
　　∵CE⊥AE、∠CAE＝30°，∴AC＝2CE＝8√30/15。
综上可知，满足条件的AC的长是 8√2/3，或 8√30/15。