a为满秩方阵时,ax=b为什么有唯一解？

Question

如题所述

Answer 1

因为N阶方阵A与N阶单位阵等价，而等价的充要条件是R（A）=N。再者，对于非齐次方程AX=B而言，系数矩阵的秩必然小于或等于增广矩阵的秩，即R（A）=<R（A，B）=<N，又R（A）=N，则R（A）=R（A，B）=N，从而方程接的个数只有一个。

AX=0仅有零解，只能说明 r(A)=n，不能说明 r(A,b) = n，此时 AX=b 可能无解。将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

含义

设A是n阶矩阵, 若r（A） = n, 则称A为满秩矩阵。但满秩不局限于n阶矩阵。若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。