什么是复合函数

Question

如题所述

Answer 1

定义

　　设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
　　y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)
编辑本段
生成条件

　　不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域存在非空子集Zφ是y=f(μ)的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
编辑本段
定义域

　　若函数y=f(u)的定义域是B﹐u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
　　 复合函数的导数D={x|x∈A,且g(x)∈B}
编辑本段
周期性

　　设y=f(u),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
编辑本段
增减性

　　 复合函数单调性依y=f(u),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
　　判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；
　　(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；
　　(3)判断每个常见函数的单调性；
　　(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
　　(5)求出复合函数的单调性。
　　例如：讨论函数y=0.8^(x^2-4x+3)的单调性。 复合函数的导数解：函数定义域为R。
　　令u=x^2-4x+3，y=0.8^u。
　　指数函数y=0.8^u在(-∞，+∞)上是减函数，
　　u=x^2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
　　∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
　　利用复合函数求参数取值范围
　　求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须
　　将已知的所有条件加以转化。

Answer 2

首先，一定要认识到，复合函数是函数的一种类型，那么自然，函数的所有性质它当然具备！不要把复合函数看成一个异类，这样后面我们在解决某些问题（比如求定义域）时就可以把其归入一般的求函数定义域问题中去，运用通性通法解决即可。

首先我们来看一下我们熟悉的几种函数，为与复合函数对比，我们姑且称这些函数为简单函数；
一次函数形如y＝kx＋b;
二次函数形如y＝ax^2+bx+c;
三角函数形如y＝sinx，y＝cosx等等；
指数函数形如y＝a^x;
对数函数y=loga(x)
常函数y=c(c属于R)；
幂函数

这些函数的明显特征是直接对x进行处理（即运算），运算包括“加减乘除，乘方，开方，求正（余弦），取对数，幂运算“等等，而复合函数则不然，看下面图片中的例子，它的运算过程是这样的，先将x加一，然后再取对数，运算明显分成了2个阶段，那么这样的函数就是复合函数了。我们可以把它看成是两个函数复合而成的。

Answer 3

什么是复合函数呢