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一道大学高数题:y''=y'+x 求y各种方法都试了.求各位高手学霸们师哥师姐们解答,不胜感激!
如题所述
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推荐答案 2011-12-28
解法一:∵齐次方程y''=y'的特征方程是r²=r,则r1=1,r2=0
∴此齐次方程的通解是y=C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=Ax²+Bx
代入原方程得2A=2Ax+B+x
==>2A=B,2A+1=0
==>A=-1/2,B=-1
∴原方程的特解是y=-x²/2-x
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)。
解法二:(常数变易法)
令y'=p,则y''=p'
代入原方程得p'=p+x.......(1)
∵方程(1)的齐次方程是p'=p
==>dp/dx=p
==>dp/p=dx
==>ln│p│=x+ln│C│ (C是积分常数)
==>p=Ce^x
∴根据常数变易法,设方程(1)的解为 p=C(x)e^x (C(x)表示关于x的函数)
∵p'=C'(x)e^x+C(x)e^x
代入方程(1),得C'(x)e^x+C(x)e^x=C(x)e^x+x
==>C'(x)e^x=x
==>C'(x)=xe^(-x)
==>C(x)=∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-e(-x)+C1 (C1是积分常数)
∴方程(1)的通解是p=[-xe^(-x)-e(-x)+C1]e^x=-x-1+C1e^x
==>y'=-x-1+C1e^x
==>y=∫(-x-1+C1e^x)dx=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C2是积分常数)
故原方程的通解是y=-x²/2-x+C1e^x+C2 (C1,C2是积分常数)。
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其他回答
第1个回答 2011-12-27
y=-x - x^2/2 + e^x C[1] + C[2]
其中e为自然对数底数,C[1]和C[2]为任意常数.
追问
高手!求过程!我也是这么算的,但答案是y=-ln|cosx+c1|+c2 我知道了!答案错了!
相似回答
一道大学高数题:y
''
=y
'
+x
求y各种方法都试了
.?
答:
简单分析一下,详情如图所示
x
²
y
''-2y=0 求这题怎麼算 二阶线性常微分方程式
答:
∴y=C1·x^2-C2/(3x)。∴原微分方程的通解是
:y=
C1·x^2-C2/(3x),其中C1、C2为任意常数。
数学
高数:
你不知道的出题规律及常考题型
答:
1.求典型类型的一阶微分方程的通解或特解:这类问题首先是判别方程类型,当然,有些方程不直接属于我们学过的类型,此时常用的方法是将x与
y
对调或作适当的变量代换,把原方程化为我们学过的类型;2.求解可降阶方程;3.求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;4.根据实际问题或给定的条件建立微分...
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