三角函数求最值问题

Question

1）y=（cosx+1）/（sinx+2）
2）y=sinx+cosx+sin2x
3）当常数a＞2/3时，求函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）

Answer 1

1）y=（cosx+1）/（sinx+2）
解：y=（cosx+1）/（sinx+2）
=2cos² (x/2)/[2sin(x/2)cos(x/2)+2sin² (x/2)+2cos² (x/2)]
[当cos² (x/2)＝0时，y=0；当cos² (x/2)≠0时，分子、分母同时除以2cos² (x/2)]
=1/[tan(x/2)+tan² (x/2)+1]
=1/{[tan(x/2)+1/2] ²+3/4}≤4/3
故：0≤y≤4/3

2）y=sinx+cosx+sin2x
解：y=sinx+cosx+2sinxcosx
令t= sinx+cosx，故：-√2≤t≤√2
故：t²=1+2 sinxcosx 即：2sinxcosx=t²-1
故：y=t+t²-1=(t+1/2) ²-3/4
故：-3/4≤y≤(√2+1/2) ²-1=√2+1
即：-3/4≤y≤√2+1

3）当常数a＞2/3时，求函数f（x）=（sinx+a）（cosx+a）
解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）
=a(sinx+cosx)+ sinxcosx+a²
令t= sinx+cosx，故：-√2≤t≤√2，
故：t²=1+2 sinxcosx 即：sinxcosx=(t²-1)/2
故：f（x）=at+(t²-1)/2+a²=1/2(t+a) ²+1/2a²-1/2
因为a＞2/3，-√2≤t≤√2
故：当2/3＜a≤√2时，f（x）由最小值1/2a²-1/2，此时t=-a时，取最小值
当a＞√2时，f（x）由最小值a²-√2a+1/2，此时t=-√2时，取最小值

Answer 2

1)
y=(cosx+1)/（sinx+2）=2[（cosx+1)/2]/[2sin(x/2)cos(x/2)+2]
=[2cos^2 (x/2) ]/[2sin(x/2)cos(x/2)+2]=[cos^2(x/2)]/[sin(x/2)cos(x/2)+sin^2 (x/2)+cos^2 (x/2)] 分子分母同除cos^2 (x/2)
=1/[tan x/2 +tan^2 x/2 +1]
设tan x/2=k y'=k^2 +k +1 ∈[3/4,＋∞) 故y=1/y'∈(0,4/3]

2)
y=sinx+cosx+2sinx cosx = sinx+cosx+ (sinx+cosx)^2-1 1的代换， 设sinx+cosx=k,则通过构造复合函数sin(x+45°）知k∈[-根号下2，+根号下2], 故y=k^2+k -1∈[-5/4,（根号2)+1]

3)同2)设sinx+cosx=k知k∈[-根号2，+根号2],
f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=a^2 +a (sinx+cosx)+ sinxcosx
=a^2 +a (sinx+cosx)+ sinxcosx=a^2 +ak +(k^2-1)/2
=k^2/2+ak +a^2 -1/2=1/2(k^2 +2ak+a^2 ）+a^2 /2-1/2
=1/2(k+a)^2+ (a^2 -1)/2
因为-a＜-2/3＜-根号2 所以函数在k∈[-根号2，+根号2]内单调递增，最小值在K=- 根号2,最大值在K=+ 根号2时取得， 代入即可（不方便打出来，你自己代入最后那个式子就是结果了！
楼上的第二问抄错题了，第三问对称轴写错了，所以答案都是错的！

Answer 3

∵A+B=120°
∴A=120°-B
∵0.5sin
A
+
sin
B
∴0.5sin
A
+
sin
B=0.5sin(120°-B)
+
sin
B
=0.5*(sin120°cosB-cos120°sinB
)
+
sin
B
=½*﹙√3
/2﹚cosB-½*﹙-1/2﹚sinB
+sinB
=(√3
/2)*cosB+(5/4)*sinB
(√3
/2)²+(5/4)²=7/4
∴0.5sin
A
+
sin
B
的最大值
=√(7/4)
=√7/2

Answer 4

打扰啦，我在做任务哦，再见！

Answer 5

y=sinx+cosx+sinxcosx
解:令sinx+cosx=T，1式
由同角
三角函数关系
sinxcosx=[（sinx+cosx)^2-(sinx^2+cosx^2)]/2
把1式代入，得sinxcosx=（T^2-1)/2
所以y=T+（T^2-1)/2
整理得，y=1/2（T+1）^2-1
而sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
所以y在T[∈-√2,√2]时，不单调
当T=-1时，y取得最小值
=
-1
当T=√2时，y取得最大值
=
1/2+√2