高等数学，请问这个三重积分，如何交换次序计算？

Question

过程可以详细点吗，是怎么交换次序的，上下限怎么定。

Answer 1

首先被积函数跟θ无关，可以直接计算关于θ的积分，就变成了二重积分

I=2π∫(0，1) dr∫(0，1－r) e^[－(1－z)²]dz

画出积分区域，为下图阴影部分区域

所以交换积分次序后

I=2π∫(0，1) dz∫(0，1－z) e^[－(1－z)²]dr

=2π∫(0，1) (1－z)e^[－(1－z)²]dz

=πe^[－(1－z)²]|(0，1)

=π(1－1/e)

Answer 2

首先角度seta项直接积分得到2π，然后后面的指数项暂时无法积分，交换变量z和r的积分顺序，这就变成了二重积分交换积分顺序问题，接下来确定积分区间，看z和r积分上下限，可以知道二重积分区域是D：{（r,z）|0<=r<=1，0<=z<=1-r}，我们把这个区域画出来就是一条直线与x,y轴在第一象限的包围区域，因此我们先积r，积分上下限变成[0,1-z]，而z积分区间变成[0,1]，这样就解决了这道题目。本回答被提问者采纳

Answer 3

交换积分次序。

Answer 4

如图所示