已知在四面体ABCD中BC=CD=1BD=根号3其余棱长均为2且四面体的顶点在同一个球面上则该球的表

Question

如题所述

Answer 1

考点：球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：计算题．
分析：由已知中四面体ABCD中，已知，BD＝
3

，BC=DC=1，其余棱长均为2，我们设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，利用解直角三角形，求出四面体ABCD外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出四面体ABCD外接球的面积．

解答：解：设A在底面BCD上的射影为E，球的球心为O，如图．
由正弦定理得：2BE=BD
sin∠BCD
=

3

sin120°
=2，
∴BE=1，
在直角三角形ABE中，AE=

AB 2−BE 2

＝

4−1

＝

3

，
设OA=OB=R，在直角三角形BEO中，OB2=OE2+BE2，
即R2=12+（

3

-R）2，
∴R=
2

3

则这个球的表面积是4πR2=
16π
3
，
故选D．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积和球的表面积，其中计算外接球的半径，确定棱锥的高是关键，而求三棱锥的外接球表面积时，最难的问题是求外接球的半径．
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