是无理数的个数多还是有理数的个数多

Question

如题所述

Answer 1

无理数多。
有理数是可数集无理数是不可数集。
有理数都能写成m/n形式(m为整数，n为正整数)，所以能够排列起来。按分子分母之和顺序排列：
0,1,-1,1/2,-1/2,2,-2,1/3,-1/3,2/2,-2/2,3,-3……
然后
这样就能使得有理数与自然数对应，0→0，1→1，2→-1，3→1/2……其中m/n在第(m+n-1)^2+3m+n位。说明有理数和自然数一样多，因此有理数集是可数集。
下面证明无理数不可数。
无理数有0.1415926535……，1.1415926535……，2.1415926535……等，因此无理数不会比自然数少，也就是不会比有理数少。只要证明无理数和自然数不能对等就是。
假设无理数可数，则能与自然数一一对应：
0 0.7828258855……
1 0.1010010001……
2 0.12345678910……
3 1.7225355342……
……
然而我们可以找到一个无理数的个位与0中的不同，十分位与1中的不同，百分位与2中的不同……这是无理数，但不在数列上，我们再亡羊补牢，把这个无理数补到数列里，也还是能创造一个无理数，但不在数列上。因为每一位都有0到9十个选择。只要有一位不同则无理数不相同，这就使得无理数怎样列也列不完，即使再列无穷个，我们还是能创造一个无理数，并且不在数列上……因此该数列不可能包含所有的无理数。这就产生一个矛盾，说明无理数不能和自然数对等。因此无理数比自然数要多，也就是比有理数多。
∴无理数比较多。

Answer 2

无理数
简单说就是任意两个有理数之间存在着无限多个无理数.
全体实数可以覆盖整个数轴,而全体有理数不能覆盖整个数轴.任取两个相邻的有理数,则它们之间必存在无限多个无理数
首先说明什么是“多”.有理数和无理数不对等,即不能建立一一对应关系.而如果两个集合可以建立一一对应关系,则说它们是对等的（即“一样多”）.
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的,如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n）,因而它们是对等的.
因为有理数可以写成整数分数的形式,因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列）,因此整数对儿和自然数也对等.
同样的,由于无理数有1.1415926……,2.1415926……,3.1415926……,因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系,它们是对等的.因此无理数不会比自然数少,也就不会比有理数少.
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等.
我们用反证法.反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数,它的第一位与上面数列中的第一个数不同,第二位与数列中的第二个数不同,……从而这个新无理数就不在数列中,这是一个矛盾.此矛盾说明无理数不能排成一列,即无理数比自然数多,从而比有理数多.本回答被网友采纳

Answer 3

无理数个数多；说明如下：如果一样多，因为有理数是可数的，那么就存在一个一一对应使得每一个有理数可以唯一对应一个无理数，这样如果按照对角线排列就可将全体实数一一列出，这样实数集就是一个可数集合，而实数集的基数是连续统基数C，这就导致矛盾，因此无理数个数多；比方说在区间[0，1]之内，有理数组成一个0测度的集合，而无理数所组成的集合的测度却是1，这说明无理数的个数要远远多于有理数。