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Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2,0），B（2,0），直线PA,PB的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-。 (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)设直线L：kx+m与曲线C交于不同的亮点M,N。 1.若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线L的距离为定值，并求出这个定值。 2.若直线BM,BN的斜率都存在并满足KBMKBN=-，证明直线L过定点，并求出这个定点。

Answer 1

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2,0），B（2,0），直线PA,PB的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-1/4。(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线L：kx+m与曲线C交于不同的亮点M,N。1.若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线L的距离为定值，并求出这个定值。2.若直线BM,BN的斜率都存在并满足Kbm*Kbn=-1/4，证明直线L过定点，并求出这个定点。
(1)解析：∵动点P（x，y）及两定点A（-2,0），B（2,0），直线PA,PB的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-1/4
设P(x,y)
y/(x+2)*y/(x-2)=-1/4==>
y^2=-1/4(x^2-4)==>x^2/4+y^2=1
∴动点P的轨迹C的方程为x^2/4+y^2=1
(2)解析：∵直线L：y=kx+m，交曲线C于M,N，且OM⊥ON
设M(x1,y1)，N(x2,y2)
∴y^2=k^2x^2+m^2+2kmx
代入椭圆得(k^2+1/4)x^2+2kmx+m^2-1=0
X1+x2=-8km/(4k^2+1)，x1x2=4(m^2-1)/(4k^2+1)
Y1y2=k^2x1x2+mk(x1+x2)+m^2
∴x1x2+y1y2=0
∴(k^2+1)x1x2+mk(x1+x2)+m^2=0
将x1+x2,x1x2代入
4(m^2-1)(k^2+1)-8km(mk)+m^2(4k^2+1)=0==>5m^2-4k^2-4=0
∴m^2/(k^2+1)=4/5
∵点O到直线L的距离为d=|m|/√(k^2+1)
∴d^2=4/5==>d=2√5/5
(3)解析：∵直线BM,BN的斜率都存在并满足Kbm*Kbn=-1/4
Kbm*Kbn=y1/(x1-2)*y2/(x2-2)=-1/4
∴-4y1y2=x1x2-2(x1+x2)+4
(4k^2+1)x1x2+(4mk-2)(x1+x2)+4m^2+4=0
将x1+x2,x1x2代入得m=-2k
∴4k^2/(k^2+1)=4/5==>k^2=1/4==>k1=-1/2，k2=1/2
∴m1=1，m2=-1
F直线L为y=-1/2x+1，或y=1/2x-1
∴直线L过定点B(2,0)