棱长总和相等的长方体和正方体，谁的体积大？

Question

如题所述

Answer 1

棱长总和相等的长方体和正方体，正方体的体积最大。

以下证明：

设长方体（包含正方体）长宽高分别为x、y、z，则有：

x+y+z=N（N为常数），体积V=xyz。

设：x=a³，y=b³，z=c³，（a>0，b>0，c>0），则有：

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]÷2≥0

即：a³+b³+c³≥3abc

即：x+y+z≥3(xyz)^(1/3)，（根号不好打，不等式右边为：xyz的积开三次方，再乘以3）

所以：V=xyz≤(x+y+z)³/27=N³/27

当且仅当x=y=z=N/3时，上述不等式取等号。