棱长总和相等的长方体和正方体,正方体的体积最大。
以下证明:
设长方体(包含正方体)长宽高分别为x、y、z,则有:
x+y+z=N(N为常数),体积V=xyz。
设:x=a³,y=b³,z=c³,(a>0,b>0,c>0),则有:
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²]÷2≥0
即:a³+b³+c³≥3abc
即:x+y+z≥3(xyz)^(1/3),(根号不好打,不等式右边为:xyz的积开三次方,再乘以3)
所以:V=xyz≤(x+y+z)³/27=N³/27
当且仅当x=y=z=N/3时,上述不等式取等号。