【例1】已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线x的取值范围是 .
【分析】 要求的中线与已知的三角形两边不在同一个三角形中，我们设法把这三条线段转化到同一个三角形中进行计算.
解：如图，AB＝5，AC＝7，BO＝CO把△AOC以O
点为中心旋转180°，OC
与OB重合，
∴ A点、A′点关于O
点对称，B点、C点关于O点对称，
∴ △AOC、△A′OB关于O点对称.
∴ AC=BA′.
在△ABA′中，AB+BA′>AA′>BA′-AB，
又∵ BO＝CO，AC＝BA′，OA＝OA′
∴ AB+AC＞2AO>AC-AB.
∴ 1<AO<6.
【小结】当线段不在同一个三角形中时，应注意将线段进行转移.
【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形底边的长.
【分析】 根据题意可列方程求解，由于未说明12cm和21cm具体是哪部分的长度，所以应有两种情况.
解：设这个等腰三角形的腰长为2xcm，底边长为ycm，
因此，这个等腰三角形底边的长是5cm.
【小结】方程（组）思想是数学学习中的一个重要思想，它是通过设未知数，利用题意来设法建立方程（组），再求解.
【例3】如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于M，BD=8cm，求AC的长.
【分析】 因为MD是AB边上的垂直平分线，知道了BD的长度，我们再根据对称关系可求得AD的长度，然后在△ADC中根据角度关系可求得AC的长度.
解：连结AD，∵ MD垂直平分AB，
∴ BD=AD=8cm，
∴ ∠BAD=∠B=15°（等边对等角）
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=30°.
在Rt△ACD中，∠ADC=30°
∴ AC= AD= ×8=4cm.
【小结】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【例4】 边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，求DH的长．
【分析】 根据图形旋转后的一些不变量进行求解.
解：连结CH，在Rt△FCH和Rt△CDH中， ∴ Rt△FCH≌Rt△DCH（HL），
∴ ∠DCH=∠FCH= = =30°.
在Rt△DCH中，∠DCH=30°，DC=3，
∴ DH=CD×tan30°=3× = .
【小结】善于寻找隐含的全等三角形，会起到事半功倍之效果.
2.三角形中角度的计算
【例5】 如下图所示，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∠A=50°，求∠D度数.
【分析】 我们细心观察图形就会发现，∠A＝∠ACE－∠ABC，∠D=∠3－∠2，即∠D＝ ∠ACE－ ∠ABC.
解： ∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACE
∴ 设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y，
依题意得
∴ ∠A=2∠D=50° .
∴ ∠D= ∠A= ×50°=25°.
【例6】 如下图所示，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ ）.
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
【分析】 在等边△ABC中，通过BD=CE我们马上想到△ABD≌△BCE，这样∠BAD＝∠EBC，再由∠APE是△ABP的一个外角，由外角性质可得结果.
解：△ABC为等边三角形，
∴ AB=BC，∠C=∠ABD=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴ △ABD≌△BCE.
∴ ∠DAB=∠EBC.
∵ ∠APE=∠BAD+∠ABE，
∴ ∠APE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=60°.
因此答案选C.
【例7】 如图所示，△ABC绕顶点A顺时针旋转（旋转角度不大于180°），若∠B=30°，∠C=40°，问：
（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB′C′的顶点C′与原△ABC的顶点B和A在同一条直线上.
（2）再继续旋转多少度时，C、A、C′′在同一条直线上（原△ABC是指开始位置）.
【分析】 根据题意画出旋转后的图形，再由旋转前后图形全等进行计算.
解：（1）如图，旋转角为∠CAB=180°-∠B-∠C=180°-30°-40°=110°时，A、C′、B在同一直线上；
（2）再继续旋转180°-110°=70°时，C、A、C′′在同一条直线上.
【小结】点的变化
参考资料：http://user.qzone.qq.com/826218981