,如图1,在△ABC中,点D在边BC上, (1),若BA=BD,∠CAD = 30° ,∠ACB= 45° ,求∠B的度数?
如图1，在△ABC中，点D在边BC上，（1）、若BA=BD，∠CAD = 30° ，∠ACB= 45° ，求∠B的度数？（2）、过点C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，若∠CAD = 3∠ABC AE=AB ∠ACB= 45° 求证： （3）、如图2，在四边形ABEC中，对角线BC、AE交于点D 且BD=2DC， AC=AE， ∠BAE=90° ∠ACE= 75° 求证： △ABE为等腰直角三角形
【1】
解：
∵BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵∠BDA=∠CAD+∠ACB=30°+45°=75°（三角形外角等于不相邻两个内角和），
∴∠B=180°-∠BAD-∠BDA=180°-75°×2=30°
【2】此题有误，∠CAD=∠ABC（不是∠CAD=3∠ABC），求证：AC=√2CE。
【先用反证法证明∠CAD=3∠ABC是错误的】
过点A作AF⊥BC于F，
∵∠ACB=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴AC=√2AF，
∵AC=√2CE，
∴AF=CE，
在Rt△BFA和Rt△ACE中，
∵AB=AE，AF=CE，
∴Rt△BFA≌Rt△ACE（HL），
∴∠ABF=∠CAE，
即∠ABC=∠CAD。
【证明】若∠CAD = ∠ABC， AE=AB ，∠ACB= 45° 求证：AC=√2CE。
过点A作AF⊥BC于F，
则∠BFA=∠ACE=90°，
又∵∠ABF=∠CAE，AB=AE，
∴△BFA≌△ACE（AAS），
∴AF=CE，
∵∠ACB=45°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴AC=√2AF，
∴AC=√2CE。
【3】
证明：
过点C作CF⊥AE于F，
则∠CFD=∠BAD=90°，
又∵∠CDF=∠BDA，
∴△ADB∽△FDC（AA），
∴AB/CF=BD/CD=2/1
∴AB=2CF，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=75°，
∴∠CAE=30°，
则AC=2CF（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴AB=AC=AE，
∵∠BAE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形。
