被积函数是奇函数，为什么是发散的？

Question

如题所述

Answer 1

虽然被积函数是奇函数，积分区间也是关于原点对称的，但是因为这是-∞到+∞的，根据这种反常积分的定义规定，必须分成-∞到0和0到+∞两个区间分别算，两个区间的定积分都存在，才说-∞到+∞的定积分存在。其中至少1个不存在，则说-∞到+∞的定积分不存在，是发散的。
所以做这类题目，最常见的错误就是，没有分成-∞到0和0到+∞两个区间分别算，而是直接根据被积函数是奇函数，积分区间也是关于原点对称的原则，认为定积分是0，但是这种认定，不一定适合无穷区间的反常积分。

Answer 2

正无穷负无穷是趋于无穷大，但以什么样的方式趋于不确定，收敛的定义是无论什么方式趋于都要收敛。
无穷大只是个记号，如果负无穷是以t趋于无穷大，正无穷是以t^2，就不等于零。有一个反例就够了。
而严格收敛的如sinx／x，0.5^|x|，无论两边以什么方式趋于无穷大都为零。