高中数学解析几何题
老师布置了一些解析几何题,会做的帮帮忙,可以详细地写出过程吗?
问题如下:
1.已知定点A(-2,-4),过点A作倾角为45°的直线L交抛物线Y^2=2PX(P>0)与B,C两点,且｜AB｜,｜BC｜,｜AC｜成等比数列.①求抛物线方程.②在①中的抛物线上是否存在点D,使得｜DB｜=｜DC｜成立?如果存在求出D点的方程,如果不存在,请说明理由.
2.设椭圆方程为X^2+Y^2/4=1,过点M(0,1)的直线L交椭圆与点A,B.O是坐标原点,点P满足向量OP=1/2(向量OA+向量OB),点N的坐标为(1/2,1/2).当L绕点M旋转时,求①动点P的轨迹方程②｜向量NP｜的最小值与最大值.
3.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0).点P,Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的极力为1.①若直线AP的斜率为k,且｜k｜∈[根号下3/3,根号下3].求实数m的取值范围②当m=根号下2+1时,三角形APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
4.已知椭圆的中心在原点，离心率为1/2,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数)①求椭圆的方程②设点Q是椭圆上的一点,且过点F,Q的直线L与Y轴交于点M,若｜向量MQ｜=2｜向量QF｜,求直线L的斜率.
5.设P>0是一常数,过点Q(2P,0)的直线与抛物线Y^2=2PX交于相异的两点A,B.以线段AB为直径作圆H(H为圆心),试证明抛物线顶点在圆H的圆周上,并求出圆H的面积最小时直线AB的方程
谢谢各位高手拉!~~~
过定点(-2,-4)作倾斜角为45°的直线l
则直线方程为 y=x-2 代入y2=2px
x^2-(2p+4)x+4=0
x1+x2=2p+4
x1*x2=4
AB BC AC成等比数列
则AB/BC=BC/AC
(x1+2)/(x2-x1)=(x2-x1)/(x2+2)
整理得
x1x2+2(x1+x2)+4=(x1+x2)^2-4x1x2
4+2(2p+4)+4=(2p+4)^2-16
解得p=1
所以抛物线的方程为
y^2=2x
2.设AB所在直线的斜率为K,A(XA,YA),B(XB,YB),P(XP,YP)
①XP=(XA+XB)/2
②YP=(YA+YB)/2
③XA^2+YA^2/4=1
④XB^2+YB^2/4=1
③-④化简,并有①,②代入可得XP/YP=-K/4(过程略)
⑤YP=-4*XP/K
又⑥YP=K*XP+1(P是AB中点,一定落在直线上)
⑤*(⑥-1)=-4*XP^2,化简得;
X^2/(1/16)+(Y-1/2)^2/(1/4)=1
当K=0时,P(0,1),等式成立
当K不存在时,P(0,0),等式成立
.........
N为P所在椭圆的中心,NP向量的模的最小值与最大值分别是该椭圆的半短轴与半长轴。
4.解：(1)：由F(1,0)可知，所求椭圆的焦点在y轴上.
∴可设所求椭圆的方程为 y²/a²+x²/b²=1(a＞b＞0).
由题可知，c=1.
又∵e=1/2
∴有e²=c²/a²=1/a²=1/4
则,a²=4
∴b²=a²-c²=3.
即：所求椭圆方程为 y²/4+x²/3=1.
(2)：如图(我发了一张图……)
设A(x1,y1) B(x2,y2).
∵F(0,1)∈AB
∴可设直线AB的方程为 y=kx+1.
可知k≠0 ， 又可x1＜0,x2＞0.
∵向量AF：向量FB=1：2
∴有-2x1=x2 即 2x1+x2=0.
联立{y=kx+1, 4x²+3y²=1. 得,(3k²+4)x²+6kx-9=0.
由求根公式得, x1=[-3k-6√(k²+1)]/(3k²+4)
x2=[-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4).
又∵2x1+x2=0
∴有[-6k-12√(k²+1)]/(3k²+4)+ [-3k+6√(k²+1)]/(3k²+4)=0.
化简得，5k²=4
∴k²=4/5.
解得，k=2√5/5 或 -2√5/5
即：所求直线方程为 2√5x-5y+5=0 或
2√5x+5y-5=0.
第5是2004年重庆高考题，本想给你发文档了，但加不上好友，自己搜吧
第二题：
设L的方程为y=kx+1，与椭圆的方程联立消去y得(k^2+4)x^2+2kx-3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).x1+x2=-2k/(k^2+4),设p(x,y)，则有x=(x1+x2)/2=-k/(k^2+4),y=kx+1=4/(k^2+4).消去y得p的轨迹方程为4x^2+(y-1/2)^2=1/4。第二问，|NP|=根号[(x-1/2)^2+(y-1/2)^2]，根号里的式子=x^2-x+y^2-y+1/2=x^2-x-4x^2+1/2=-3x^2-x+1/2.其中-1/4<=x<=1/4.剩下的就是求这个二次函数的最值了，结果NP的最大值为根号21/6.最小值为1/4。
第三题：
第四题：
(1)∵e=1/2 C=m
∴A=2m 所以B=SQRT（3）m
所以椭圆方程x^2/(4m^2)+y^2/(3m^2)=1
(2)
显然L的斜率不为0，则设L的方程X=nY-m
则M（0,m/n）∵向量MQ=2向量QF则F是QM的中点
∴Q（-2m，-m/n）在椭圆上
于是，4m^2/(4m^2)+(m/n)^2/(3m^2)=1
于是m/n=0显然，当斜率不存在即1/n=0时成立。
参考http://zhidao.baidu.com/question/83256077 ;
第五题：
是2004年高考重庆卷，网上搜一下
1.y^2=4x
不再赘述，另外可得焦距f=OF=1，EF=2
2.设AF=AM=a，BF=BN=b，不妨假设a>=b，过B作AM的垂线分别交X轴、AM于P、Q，则PF=2-b，QA=a-b，由相似三角形可得PF/QA=BF/BA，即(2-b)/(a-b)=b/(a+b)，化简得ab=a+b，这样就可以得到两个等式：a/(a+b)=1/b;
b/(a+b)=1/a。替换里面的变量就得到：AF/AB=OF/BN;
BF/AB=OF/AM。楼主看到了什么？不要说什么都没看到……
3.打字原因，点乘就用x代替了，但是向量的叉乘和点乘实际上是不一样的两种运算，在此提醒楼主。
向量EAx向量EB=(向量EM+向量MA)x(向量EN+向量NB)=向量EMx向量EN+向量MAx向量NB=向量AFx向量FB-向量MEx向量EN=|AF|x|FB|-|ME|x|EN|。先在此止住，有一个显然：AF>=ME,
FB>=EN，因此向量EAx向量EB>=0，因此可得cos角AEB>=0，因此这个角要么锐角要么直角，且直角时AB||y轴。
以上为答案，希望不要再碰上无良楼主了，不然的话我今后就不再在百度知道上给人解高中数学了>_<看在我大半夜给楼主解题的份上，是吧……没错，就是大半夜……
的中垂线方程为y=2x-3
c(7,3)
d(m,n)他们的连线中点应该在此中垂线上（由对折可知）
有：（m+7)/2=2*(n+3)/2
-3
,
且c，d的连线应该与A,B的联线平行，即都与此中垂线垂直，
有（m-7)/(n-3)=-1/2
由上两个式子得到m+n=37/5
抛物线的焦点为F(a,0)
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则：(y1)^2=4ax1,
(y2)^2=4ax2
相减，并分解因式：
（y1+y2)(y1-y2)=4a(x1-x2)
变形：(y1-y2)/(x1-x2)=4a/(y1+y2)
注意到PQ的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
由上式得:
k=4a/(y1+y2)
（1）
又向量PF=(a-x1,-y1)
FQ=(x2-a,y2)
由PF=2FQ,得a-x1=2(x2-a)
-y1=2y2
即得x1=3a-2x2
*
y1=-2y2
*
这样(1)变为k=4a/(-y2)=-4a/y2
（2）
又还应有k=FQ的斜率=(0-y2)/(a-x2)（3）
由（2），（3）得
-4a/y2=-y2/(a-x2)
即(y2)^2=4a(a-x2)
即4a*(x2)=4a(a-x2)
(曲线方程(y2)^2=4ax2)
即有(x2)=a/2.
由此：(y2)^2=4a(a/2)=2a^2
y2=(根号2)*a,
或y2=-(根号2)a
PQ的斜率k=2*(根号2)
或k=-2*(根号2)