三角函数和差化积公式怎么推的？sinA-sinB=2cos(a+b)/2sin(a-b)/2，怎么

Question

三角函数和差化积公式怎么推的？sinA-sinB=2cos(a+b)/2sin(a-b)/2，怎么推的？

Answer 1

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
和差化积公式由积化和差公式变形得到，积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
推导过程：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
把两式相加得到：
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 同理，把两式相减，得到：
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
把两式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 同理，两式相减，得到
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
这样，得到了积化和差的四个公式:
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的α+β设为θ,α-β设为φ,
那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β分别用θ,φ表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。追问

为什么a+b=Θ,a-b=e就得a=（Θ+e）/2?y

我看半天终于懂了，但还是这没懂

追答

解方程组啊, 把两个等相加(左+左=右+右)
2a=Θ+e---->a=(Θ+e)/2

把两个等相减(左-左=右-右)
2b=Θ-e---->b=(Θ-e)/2

追问

？？请问，呢个是怎么转过来的？没看懂

我大概想到的Θ=a+b,e =a-b。a=Θ-b=e+b=(Θ-b+e+b)/2=(Θ+e)/2对么？？

追答

可以.

追问

谢谢

追答

不用谢

Answer 2

详细见下图片