正整数幂求和公式的推导

Question

请高手指点

Answer 1

问题：对于k^n,从1累加到m，求解

显然对于一次幂（自然数求和）高斯已经解决，事实上一次幂可以降幂成0次幂（也就是1）

降幂：对于k^n，我们要把他拆成两项，那只能是k^(n+1)-(k-1)^(n+1),该式用二次项定理展开后，n+1次幂会抵消掉，把含有k^n的那个项当成x解出来，大概就是k^n=(k^(n+1)-(k-1)^(n+1)+n(n-1)k^(n-1)+……），把这个式子两边累加，结果是∑k^n=m^(n+1)-(1-1)^(n+1)+…… 省略号代表的部分也是一个累加式，但是与原式相比，降幂。

对于任意阶的幂，连续降幂到0或者1，问题可解。

如果从j累加到i，那么我们可以先求从1到i的和，再减去从1到j的和。

Answer 2

k=1时
sn=n(n+1)/2
k=2时
sn=n(n+1)(2n+1)/6
k=3时
sn=[n(n+1)]^2/4
其中,k=2的sn表达式是由k=1的表达式推导出来的，k=3的sn表达式是由k=2的表达式推导出来的。即现在已知k=1时的表达式，又知道k=m和k=m-1表达式之间的关系（递推式），因此可以知道所有的k∈n﹡的表达式。
但是到目前为止，我还没见到sn关于k的通式
这个通式可能存在也可能不存在。
如果你一定要知道通式，就用k=1,2,3的这几个式子猜，并用数学归纳法证明即可。