全微分于某点存在的充分条件:函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续。
全微分于某点存在的必要条件:该点处所有方向导数存在。
全微分于某点存在的充要条件:若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分,即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y),则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系。
如果函数
z=f(x,y)在(x,y)处的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)
可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),
其中A、B不依赖于Δx,Δy,仅与x,y有关,ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]),此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记为dz即dz=AΔx+BΔy,该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。
以上内容参考:百度百科-全微分