假设向量a//向量b
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则有a=λb
(x1,y1)=(λx2,λy2
即x1/x2=y1/y2=λ
变形得x1y2-x2y1=0
下面证明垂直,垂直很简单,用数量积假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
∴向量a·向量b=0
∴x1x2+y1y2=0
扩展资料：
已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
数量积具有以下性质：
a·a=|a|2
a·b=b·a
a·(b+c)=a·b+a·c
a⊥b=0=>a·b=0
a·b=0=>a⊥b=0(a≠0,b≠0)
a=kb<=>a//b
|a·b|≤|a|·|b|
e1·e2=|e1||e2|cosθ
平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示。
三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
参考资料：百度百科-平面向量
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2019-12-23
一、三视图与平面的性质
1. 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等）
长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。
宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。
高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。
2. 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
根据上面的公理，可得出以下推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：
1. ，，面面
2. 空间平行关系的判定与性质
（1）两直线平行的判定：
①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）
②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行；
③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行；
④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定与性质：
判定：
①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行；
②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。
性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。
（3）面面平行的判定与性质：
判定：
①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行；
②垂直于同一直线的两平面平行。
性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
3. 空间垂直关系的判定与性质：
（1）两直线垂直的判定与性质：
判定
①夹角是直角的两直线垂直；
②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线；
③三垂线定理、逆定理。
性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。
（2）线面垂直的判定与性质：
判定：
①一条直线若垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面；
②两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；
③一条直线垂直于两平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面；
④两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面。
性质：若一直线垂直于平面，则此直线垂直于平面内的任意一条直线。
（3）面面垂直的判定与性质：
判定：
①相交且成直二面角的两平面垂直；
②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
性质：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
三、空间的角与距离
1. 夹角：（求角的步骤：一作、二证、三求）
（1）异面直线所成夹角的求法：定义法、平移法、补形法、空间向量法；范围：
（2）直线与平面所成夹角的求法：定义法、空间向量法；范围：
（3）二面角：作二面角的平面角的方法：定义法、三垂线定理法、垂面法
2. 距离：（求距离的步骤：一作、二证、三求）
（1）异面直线距离的求法：定义法，空间向量法。
（2）直线与平面距离的求法：直线a与平面平行，过直线a上任意
一点P作平面的垂线，垂足是O，则d=|PO|就是直线a与平面的距离。
（3）平面与平面距离的求法：若平面，过平面内任意一点P向平面作垂线，垂足为O，则|OP|就是平面与平面的距离。
上述的三个距离实质上都是点与点之间的距离，常用的求法有：定义法、等积法、空间向量法。
四、简单几何体的侧面积及体积：
1. 柱、锥、台的侧面积：
其中（掌握常见几何体的侧面展开图）
2. 柱、锥、台的体积：
其中
球的表面积、体积：，。（球体中运用到的勾股定理：）
1. 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等）
长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。
宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。
高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。
2. 平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面。
根据上面的公理，可得出以下推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：
1. ，，面面
2. 空间平行关系的判定与性质
（1）两直线平行的判定：
①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）
②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行；
③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行；
④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定与性质：
判定：
①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行；
②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。
性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。
（3）面面平行的判定与性质：
判定：
①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行；
②垂直于同一直线的两平面平行。
性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
3. 空间垂直关系的判定与性质：
（1）两直线垂直的判定与性质：
判定
①夹角是直角的两直线垂直；
②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线；
③三垂线定理、逆定理。
性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。
（2）线面垂直的判定与性质：
判定：
①一条直线若垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面；
②两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；
③一条直线垂直于两平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面；
④两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面。
性质：若一直线垂直于平面，则此直线垂直于平面内的任意一条直线。
（3）面面垂直的判定与性质：
判定：
①相交且成直二面角的两平面垂直；
②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
性质：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
三、空间的角与距离
1. 夹角：（求角的步骤：一作、二证、三求）
（1）异面直线所成夹角的求法：定义法、平移法、补形法、空间向量法；范围：
（2）直线与平面所成夹角的求法：定义法、空间向量法；范围：
（3）二面角：作二面角的平面角的方法：定义法、三垂线定理法、垂面法
2. 距离：（求距离的步骤：一作、二证、三求）
（1）异面直线距离的求法：定义法，空间向量法。
（2）直线与平面距离的求法：直线a与平面平行，过直线a上任意
一点P作平面的垂线，垂足是O，则d=|PO|就是直线a与平面的距离。
（3）平面与平面距离的求法：若平面，过平面内任意一点P向平面作垂线，垂足为O，则|OP|就是平面与平面的距离。
上述的三个距离实质上都是点与点之间的距离，常用的求法有：定义法、等积法、空间向量法。
四、简单几何体的侧面积及体积：
1. 柱、锥、台的侧面积：
其中（掌握常见几何体的侧面展开图）
2. 柱、锥、台的体积：
其中
球的表面积、体积：，。（球体中运用到的勾股定理：）
第2个回答 推荐于2018-11-24
假设向量a//向量b
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则有a=λb
(x1,y1)=(λx2,λy2)
即x1/x2=y1/y2=λ
变形得x1y2-x2y1=0
下面证明垂直,垂直很简单,用数量积
假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
∴向量a·向量b=0
∴x1x2+y1y2=0
都是书上的定义本回答被网友采纳
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
则有a=λb
(x1,y1)=(λx2,λy2)
即x1/x2=y1/y2=λ
变形得x1y2-x2y1=0
下面证明垂直,垂直很简单,用数量积
假设向量a⊥向量b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)
∴向量a·向量b=0
∴x1x2+y1y2=0
都是书上的定义本回答被网友采纳
第3个回答 2014-04-05
第4个回答 2014-04-05
平行：b=λa 垂直：a·b=0
相似回答