令f是R到R/I的自然环同态,则kerf=I,根据环同态基本定理,所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1)充分性:因为I是R的最大理想,所以R包含I的理想只有R和I本身,从而商环R/I的理想只有I和R/I本身,换句话说,R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环,所以R/I也是有单位元的交换环,根据下面的引理,R/I是域
引理:R是有单位元的交换环,R只有平凡理想,则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0,所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有
逆元r
即R中每个非零元都可逆,故R是域
2)必要性:反过来,域R/I只有平凡理想,根据同态基本定理,真包含I的R的理想只有R本身,这说明I是R的最大理想。
证毕!