角平分线性质定理逆定理

Question

如题所述

Answer 1

角平分线性质定理的逆定理表明，一个点在平面内的特殊位置，对于任意一个小于180度的角，如果这个点到角两边的距离相等，那么这个点实际上落在角的平分线上。

以∠MAN为例，假设直线BC分别与AM、AN和延长线AS相交于B、C和D，如果AB与BD的比例等于AC与CD的比例，即AB/BD=AC/CD，那么我们可以推断出AS实际上平分了∠MAN。

为了证明这一点，我们可以构造辅助线。首先，在B点作BH，使其平行于AC并交于AS于点H。这样，我们可以得到△ADC和△HDB相似，因为它们共享的两个角相等，即∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD。相似三角形的比例性质使得AC/CD等于HB/BD，与已知条件相符。

由于AB/BD已经等于AC/CD，所以AB的长度等于BH，这就意味着∠BHA等于∠BAH，也等于∠HAC。因此，点H位于AS上，且与点M和A的距离相等，这就证明了AS确实平分了∠MAN。