第1个回答 2018-12-24
解:对于f(x)=sinx/x^3, f(-x)=sin(-x)/(-x)^3=sinx/x^3=f(x); ∫f(x)dx 的原函数为奇函数。
(xsinx/x^3)'=(sinx/x^2)'=cosx/x^2-2sinx/x^3; 得:sinx/x^3=(1/2)[cosx/x^2-(sinx/x^2)']
(xcosx/x^2)'=(cosx/x)'=-sinx/x-cosx/x^2, 得:cosx/x^2=-[sinx/x+(cosx/x)']
原式=lim(x→0) (1/2) ∫(-x,x)(sinx/x^3)dx/arccotx
=lim(x→0) (1/4)[∫(-x,x)(cosx/x^2)dx-2sinx/x^2]/arccotx
=lim(x→0) (-1/4)[∫(-x,x)(sinx/x)dx+2cosx/x^2+2sinx/x^2]/arccotx
=lim(x→0) (-1/2)(x+cosx/x+sinx/x^2]/arccotx=-∞
如果不甘心,还可以继续往下做,但是,答案会是一样的。
=lim(x→0) (-1/2)(x^3+xcosx+x]/(x^2arccotx)(到此可以利用洛必达法则,分子分母同时求导)
=lim(x→0) (-1/2)(3x^2+cosx-xsinx+1]/[2xarccotx-x^2/(1+x^2)]
=lim(x→0) (-1/2)(2x^2+cosx+1)(1+x^2)/[2x(1+x^2)arccotx-x^2]
=lim(x→0) (-1/2)[2x^2+2)(1+x^2)/[2x(1+x^2)arccotx-x^2]
=lim(x→0) -(1+x^2)^2/{2x[(1+x^2)arccotx-x]}(分子为-1,分母为0
=-∞