二元极值确定分两步:
1.F(x、y)分别对x,y求偏导,目的是联立偏导方程,找出驻点。
2.Fxx*Fyy和Fxy*Fyx的相对数值大小作为判断依据,目的就是,判断第一步中驻点是否为极值点。
二元(或都多元)极值的求法思想与一元完全类似,试回忆一元函数求极值:
1.f'(x)=0,找出驻点。
2.f''(x)判断,驻点是否为极值。
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设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 , 又
f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ,
令
f xx ( x 0 , y 0 ) = A ,
f xy ( x 0 , y 0 ) = B ,
f yy ( x 0 , y 0 ) = C ,
则 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC - B^2 >0 时具有极值 , 且当 A <0 时有极大值 , 当 A >0 时有极小值 ;
(2) AC - B^2 <0 时没有极值 ;
(3) AC - B^2 = 0 时可能有极值 , 也可能没有极值 .
是否是极值需用其它方法,一般可结合图形判定
在函数 f ( x , y ) 的驻点处
如果 f xx × f yy - f xy ^2 >0 , 则函数具有极值 , 且
当 f xx <0 时有极大值 ,
当 f xx >0 时有极小值。
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