四边形abcd是长方形,点,p是长方形内任一点,求证pa2+pd2=pb2+pd2

Question

如题所述

Answer 1

【纠正：求证PA^2+PC^2=PB^2+PD^2】

证明：

过点P作AD的垂线，交AD于E，交BC于F

则∠AEF=∠DEF=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°

∴四边形ABFE和四边形EFCD均为矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）

∴AE=BF，DE=CF，∠PFB=∠PFC=90°

根据勾股定理

PA^2=AE^2+PE^2

PC^2=CF^2+PF^2

PB^2=BF^2+PF^2

PD^2=DE^2+PE^2

∴PA^2+PC^2=AE^2+CF^2+PE^2+PF^2

  PB^2+PD^2=BF^2+DE^2+PE^2+PF^2

∵AE^2=BF^2，CF^2=DE^2

∴PA^2+PC^2=PB^2+PD^2