在利用偏导数求多元函数的极值时，若函数的自变量有附加条件，则称之为条件极值。这时，可用拉格朗日乘数法求条件极值。
具体方法如下：
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数。
求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
L'x(x,y)=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0
L'y(x,y)=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
φ(x,y)=0
套用到微观经济学里面：设效用函数U(Qx,Qy),为使它在制约条件下取得极值，首先建立拉格朗日函数：L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px∙Qx-Py∙Qy)，λ为参数。
求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件连立。
即
∂L/∂Qx=∂U/∂Qx-λPx=0 （1）
∂L/∂Qy=∂U/∂Qy-λPy=0 （2）
I-Px∙Qx-Py∙Qy=0 （3）
将方程（1）除以方程（2），得：
∂U/∂Qx =Px 即 MUx = MUy
∂U/∂Qy =Py
所以，消费者要实现两种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。
以上是关于x和y两种商品所说的，是否同样适用于多种商品呢？答案是肯定的。如果消费者在n种商品中做出选择，则消费者均衡的原则可表达为：
MU1=MU2 =MU3 = …=MUn
P1= P2= P3=...= Pn
这一结论同样可用拉格朗日乘数法证明。
拉格朗日乘数法可推广到求n元函数ƒ(x1,x2,…,xn)在m个附加条件φ(x1,x2,…,xn)下的条件极值。
方法如下：
（1）做拉格朗日函数L(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2)；
（2）求L(x1,…xn)关于x1,…xn的偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即
L'xi==ƒ'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程组，可得到极值点。
回到我们的问题中，设效用函数U(Qx1,Qx2,…Qxn)，为使它在制约条件下取得极值，首先建立拉格朗日函数：
L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn)，λ为参数。求L(x1,x2,…xn)对x1,…,xn的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立。
即
∂L/∂Qx1=∂U/∂Qx1-λPx1=0 （1）
∂L/∂Qx2=∂U/∂Qx2-λPx2=0 （2）
…… …
∂L/∂Qxn=∂U/∂Qxn-λPxn=0 （n）
I-Px1∙Qx1-P2∙Qy2-…-Pxn∙Qxn
将方程（1）到（n）相除，即得，
MUx1 = MUx2 =…=MUxn
Px1 =Px2 =...=Pn
所以，消费者要实现n种商品的效用最大化，边际效用的比率应该等于价格比率。
扩展资料：
这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数
f(x,y,λ)=f(x,y)+λφ（x,y）
其中λ为参数。
令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即
F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 [1]
F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0
F'λ=φ(x,y)=0
由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。
函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解。
引进所谓Lagrange函数(称其中的实数 为Lagrange乘数 )，则上述方程组即为方程组。
因此，解决条件极值通常有三种方法：
1）直接的方法是从方程组（1）中解出 并将其表示为 代入 消去 成为变量为 的函数将问题化为函数无条件极值问题；
2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
3）在给定的条件下，若是可以将未知数代换或是解出，则可以将条件极值转化为无条件极值，从而避免引入拉格朗日乘数的麻烦。
注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的点不会被该方法计算到，因此，若求最大值或最小值时，应把这些点列出来并单独计算。
参考资料：